Processus d'altération des roches

Pages: 22 (5297 mots) Publié le: 13 avril 2011
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Chapitre 2 : DERIVEES ET DEVELOPPEMENTS LIMITES Notion de d´riv´es et de diff´rentielle e e e D´riv´e d’une fonction en un point xo e e ´ Definition 0.1. Soit f : I −→ R, I un intervalle ouvert de R, soit xo ∈ I. On dit que f est d´rivable en xo si : e f (x)−f (xo ) lim existe dans R. On la note f (xo ) . x−xo
x−→xo

Interpr´tation g´om´trique e e e xo x Soient Mo et M f (xo ) f (x) f(x)−f (xo ) cˆt´ oppos´ oe e MH tgα = cˆt´ adjacent = x−xo = x−xo oe Quitte ` faire une translation on peut a toujours supposer que α ∈ − π , π 2 2 (x tgα = f (x)−f o o ) x−x

avec x = x0

(x =⇒ α = Arctg f (x)−f o o ) x−x α est fonction de x. Si f est d´rivable en xo e f (x) − f (xo ) − − − x− − → f (xo ). −→ xo x−xo Donc α −→ αo = Arctg f (xo ) et αo ∈ − π , π 2 2 On dit que la droite (Mo M ) = ∆de pente tgα ”tend” vers une droite T de pente tgαo = f (xo )

(T ) : y − f (xo ) = f (xo ) × (x − xo ) Th¨ 2 or¨ 2 me 0.2. : (Caract´risation) ı¿ 1 ı¿ 1 e Soit f : I −→ R, xo ∈ I, alors les 2 assertions suivantes sont ´quivalentes : e (i) f est d´rivable en xo e (ii) ∃a ∈ R, ∃ε : U −→ R, U voisinage de 0 avec lim ε(h) = 0 et
h−→0

tel que xo + h ∈ I et f (xo + h) = f (xo ) + ah + hε(h) s’ilen est ainsi alors a = f (xo ).
1. UCAD, Facult´ des Sciences Economiques et de Gestion (FASEG), Ann´e : e e 2010-2011, Premi`re ann´e Cours de Math´matiques, Diaraf SECK version 0.1 e e e
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Application Calcul de limites Soit f d´rivable en xo alors : e (x · Si f (xo ) = 0 on a : f (x)−f o o ) xo f (xo) x−x · Si f (xo ) = 0 on a : f (x) − f (xo ) = θ(x − xo ) quand x −→ xo . Corollaire0.3. Soit f : I −→ R xo ∈ I, I intervalle ouvert. Si f est d´rivable en xo alors f continue en xo . e Extension de la notion de d´riv´e e e (1) D´riv´e a droite et a gauche : e e ` ` · On dit que ∈ R est la d´riv´e ` droite de f en xo si et e e a seulement f (x) − f (xo ) = x−→xo x − xo x>xo lim ou lim + f (x) − f (xo ) = x − xo

x−→xo

On note = fd (xo ). · Par d´finition, la d´riv´e a gaucheen xo de f est donn´e e e e ` e par fg (xo ) = lim f (x) − f (xo ) x−→xo x − xo x 0 * si n pair Df = R+ * si n impair Df = R Remarque : (−1)1/3 n’existe pas dans R √ par contre 3 −1 = −1
1 (4) · f (x) = U (x)1/n on a : f = n U .U √ (5) · f = n U on a :
1−n n

(x)

U U √ = √ n n n( U )n−1 n U n−1 4 et 5 sont des cas g´n´raux de 2 et 3. e e f = Fonctions d´riv´es successives : e e ´ Definition0.9. Soit f : I −→ R, I intervalle ouvert. On dit que f est d´rivable sur I si f admet en tout point x de I une d´riv´e e e e f (x) ∈ R. On construit ainsi une fonction de I dans R par la formule ∀x ∈ I On note f ou
df dx

f (x + h) − f (x) h et on l’appelle fonction d´riv´e. e e f (x) = lim
h→0

Remarque 0.10. Comme pour la continuit´, on dira que f est e d´rivable sur [a, b] si : e · fest d´rivable en ]a, b[ e · f est d´rivable en a ` droite et en b ` gauche. e a a 2 Si f admet ` son tour une fonction d´riv´e, on note f ” ou d f a e e dx2 et si 3 f ” est d´rivable on note (f ”) = f e ou d f ainsi de suite, on dx3 d´finit e 4 nf f(4) = d f . . . ; f (n) = d n . dx4 dx Formule de LEIBNITZ · (f g) = f g + g f · (f g)” = (f g)(2) = [(f g) ] = (f g + g f ) = (f g) + (g f ) = (f ) g + fg + (g ) f + g f = f ”g + f g + g”f + g = f ”g + 2f g + g”f = (f g)(2) (f g)(n) =
dn (f g) dxn n

=
k=0

k Cn f (k) g (n−k)

k Cn =

n! k!(n−k)!

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D´riv´es usuelles : e e 1 ·(Loga x) = x Loga e a=0 a>0 1 · ( n x) = x · (ax ) = ( na)ax , a>0 Elasticit´ d’une fonction e Soit q = f (p) (une fonction de demande de bien) f = variation relative de la demande. f Probl`me : e ` Estimerff par rapport a la variation relative de son prix p. On d´finit E(f /p) = ´lasticit´ de f par rapport au prix p ou e e e ´lasticit´ de f en p par : e e f p f p · = lim × p−→0 f p p f Remarque 0.11. Si f est d´rivable on a : e E (f /p) = df df p f = f (p) = donc E(f /p) = · p−→0 p dp dp f Diff´rentielle d’une application en un point : e lim dfx = f (x) dx · d(gf )x = g(x) dfx + f (x) dgx g(x) dfx...
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