provessus stochastiques

Pages: 82 (20345 mots) Publié le: 1 avril 2014
ISFA 2
Universit´ Claude Bernard Lyon 1
e
Ann´e universitaire 2006-2007
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Processus stochastiques

F. Bienvenue-Duheille
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1
Jusqu’` maintenant, les cours de probabilit´s que vous avez suivis se sont int´ress´s essentiellement
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` l’´tude d’une variable al´atoire, notamment sa loi, son esp´rance, sa variance, ou plus g´n´ralement `
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l’´tude d’uncouple ou vecteur al´atoire. Vous avez ´galement ´tudi´ le comportement de suites form´es
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` partir de variables al´atoires ind´pendantes et identiquement distribu´es avec en particulier les lois
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des grands nombres et le th´or`me central limite mais aussi tous les th´or`mes statistiques.
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e e
Ce cours s’int´resse aux processus stochastiques, c’est-`-dire auxfamilles de variables al´atoires
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index´es par un param`tre discret ou continu, repr´sentant le temps. La loi d’un processus (Xt )t∈I
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sera donn´e par la loi conjointe de (Xt1 , · · · , Xtn ), pour tout choix de n ∈ N∗ et de ti ∈ I, et non
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simplement par la loi de chacune des variables al´atoires Xt .
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Avant de vous pencher sur ce cours, prenez le temps de revisiter vos cours decalcul int´gral et
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probabilit´, en ouvrant un oeil ´veill´ sur les notions de mesurabilit´, lois usuelles discr`tes et ` densit´s,
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lois conjointes, esp´rance conditionnelle, lois fortes de grands nombres, th´or`me central limite... sans
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oublier les diff’erents modes de convergence (p.s., en loi, dans Lp ) et sans que cela soit limitatif !

Chapitre 1

Chaˆınes de Markov
1

D´finitions, propri´t´s
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e e

1.1

Le mod`le
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On dispose :
– d’un espace d’´tats, c’est-`-dire d’un ensemble E fini ou d´nombrable,
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– d’une loi de probabilit´ µ0 sur E qui jouera le rˆle de loi initiale,
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o
– des probabilit´s de transition (ou de passage) de x vers y, c’est-`-dire d’une famille
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a
(p(x, y))(x,y)∈E 2 de nombres r´els positifs v´rifiante
e
p(x, y) = 1.
y∈E

Remarque : Lorsque l’espace d’´tats E est fini, les (p(x, y)) peuvent ˆtre ´crits sous la forme d’une
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e
matrice, appel´e matrice de transition, et dans ce cas, les « sommes en ligne » de cette matrice
e
doivent toutes ˆtre ´gales ` 1. On dit que cette matrice est stochastique.
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e
a
D´finition 1.1 Une chaˆ de Markov (Xn )n≥0 sur E, de loi initiale µ0 , deprobabilit´s de trane
ıne
e
sition (p(x, y))x,y est une suite de variables al´atoires ` valeurs dans E telle que
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a
1. pour tout x ∈ E, P(X0 = x) = µ0 (x),
2. pour tout n ≥ 1 et pour tout (n + 1)-uplet (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ E n+1 , on a
P(X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) = µ0 (x0 )p(x0 , x1 )p(x1 , x2 ) . . . p(xn−1 , xn ).
En particulier, on aura p(x, y) = P(X1 = y|X0 = x) =P(Xn+1 = y|Xn = x).
On notera par la suite p(n) (x, y) = P(Xn = y|X0 = x) = P(Xn+k = y|Xk = x), c’est-`-dire la
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probabilit´ de passer de l’´tat x ` l’´tat y en n ´tapes.
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a e
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Exemples :
– Une suite de variables al´atoires ind´pendantes et identiquement distribu´es constitue une chaˆ
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de Markov (le v´rifier !), mais ce n’est ´videmment pas un cas g´n´rique.
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–Une chaˆ de Markov peut servir ` mod´liser la cotisation d’assurance automobile vers´e par
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un assur´ : la cotisation vers´e pour l’ann´e n + 1 d´pend de sa cotisation pour l’ann´e n, et du
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nombre d’accidents qu’il a occasionn´s au cours de l’ann´e n.
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– On peut mod´liser le niveau de stock de produits (avec par exemple un r´approvisionnement d`s
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que lestock est inf´rieur ` un seuil), l’´tat d’une machine (fonctionnement/panne/r´paration),
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la sant´ d’un individu (sain/malade/mort, avec ´ventuellement diff´rents niveaux de gravit´ de
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la maladie).
2

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– On peut ´galement utiliser une chaˆ de Markov pour mod´liser le temps qu’il fait. Les ´tats
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ıne
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seront alors par exemple : beau, nuageux, pluvieux....
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