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Prédicats

1522 mots 7 pages
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Le calcul des prédicats

Le calcul des prédicats
    Syntaxe Formalisation du langage naturel Sémantique Systèmes de preuves syntaxiques 1. Calcul de Gentzen 2. Résolution  Théorie de l'unication  Règles de résolution  Propriétés de la résolution

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Syntaxe : alphabet
    Les connecteurs →, ¬, ∧, ∨ Les quanticateurs ∃, ∀ Un ensemble dénombrable de variables x, y, z, . . . Une signature Σ contenant :  Un ensemble dénombrable de symboles de fonction ΣF = {f, g, h, . . .}, chacun ayant une arité  Un ensemble dénombrable de symboles de prédicats ΣP = {p, q, r, . . .}, chacun ayant une arité

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Les termes Dénition :
 Chaque variable x dans X est un terme dans TΣ,X .  Si t1 , . . . , tn sont de termes et f ∈ ΣF est un symbole de fonction d'arité n, alors f (t1 , . . . , tn ) est un terme dans TΣ,X . Un terme est clos s'il ne contient aucune variable.

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Les atomes Dénition : Un atome est de la forme r(t1 , . . . , tn ), où p est un symbole de prédicat d'arité n et t1 , . . . , tn sont de termes.

Exemple : Si ΣF = {0, S} et ΣP = {inf }, alors 0 et
S(S(S(x))) sont de termes, 0 et S(S(S(S(0)))) sont de termes clos et inf (0, S(S(S(x)))) est un atome.

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Les formules Dénition :
 Chaque atome est une formule.  Si A est une formule, alors ¬A est une formule.  Si A et B sont deux formules, A → B , A ∧ B , et A ∨ B sont de formules.  Si A est une formule et x est une variable, alors ∀x. A et ∃x. A sont de formules.

Exemple : ∀x. (enf ant(x) → ∃y. mere(y, x))
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Le calcul propositionnel commme un calcul des prédicats
Le calcul propositionnel peut se voir comme un calcul des prédicats sur une signature Σ t.q.  l'ensemble ΣF est vide  l'ensemble ΣP contient uniquement des prédicats 0-aires,  les quanticateurs ne sont pas utilisés

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Variables libres et liées
Les variables libres (VI) et liées (VE) d'une formule sont dénies comme suit :  Si A est un atome, V I(A) contient toutes les variables de A, et V

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