Ratio de sharpe

Pages: 9 (2002 mots) Publié le: 5 juillet 2012
Note sur le ratio de Sharpe
Philippe Bernard EURIsCO Paris IX Mars 2005
Le ratio de Sharpe a été formulé pour la première fois dans Sharpe [1966] [Sha66]dans un article tentant d’évaluer les performances des funds, puis développé à nouveau dans un article plus théorique, Sharpe [1975] [Sha75b]. Sharpe [1994] [Sha94] présente une synthèse sur le sujet dont ce qui suit est directement ettotalement inspiré.

1

Définitions

Le ratio de Sharpe est une mesure de la rentabilité corrigée du risque. Comme beaucoup des mesures en finance, théoriquement elle reflète des valeurs anticipées (ratio de Sharpe ex ante). Concrètement, elle est par contre mesurée à partir de données historiques (ratio de Sharpe ex post). Le point de départ du ratio de Sharpe est qu’il convient de mesurer lerendement et le risque d’un actif (ou d’un portefeuille) relativement à un portefeuille de référence, le benchmark. Cette idée est évidemment inspirée par le CAPM (et / ou le modèle indiciel de Sharpe) où le portefeuille de marché joue ce rôle de référence. Concrètement dans la gestion de portefeuille, le choix du benchmark dépend pour l’essentiel du segment sur lequel opère le gérant de portefeuille.Aussi si l’on peut choisir comme benchmark des indices représentatifs du “marché” (le S&P500, le CAC40, le SB250, etc.), on peut aussi lui préférer soit des indices de style (small caps et big caps, growth et values, etc.) ou des indices sectoriels. Une fois le benchmark choisi au niveau de l’allocation stratégique, le calcul du ratio de Sharpe est immédiat. Pour chaque actif j, on détermine alors lerendement excédentaire de cet actif relativement au benchmark : e dj := rj − rB e e 1 (1)

où e traduit le fait que les rendements nets sont aléatoires, j et B sont les indices de l’actif considéré et du benchmark choisi. Le ratio de Sharpe ex ante consiste alors à corriger l’espérance du rendement excédentaire de l’ach i e tif j, E dj , du risque qu’il fait courir en divisant le premier parle second. Le ratio de Sharpe ex ante s’écrit donc : h i e E dj Sj = ³ ´ (2) e σ dj ³ ´ e où σ dj est l’écart-type (la volatilité) de l’actif j. A cette définition théorique correspond une définition ex post où le ratio de Sharpe est calculé à partir des valeurs historiques. Si l’on dispose de T réalisations des rendements de l’actif j et du benchmark, respectivement {rjt : t = 1..., T } et {rBt : t= 1..., T }, alors : PT b 1 t=1 djt T b Sj = (3) σ ({djt : t = 1..., T }) b oùbdénote que la variable est une réalisable “historique”, où : b b b djt = rjt − rBt (4) et où σ est l’estimation de la volatilité : b

Remarque 1 Cette définition du ratio de Sharpe est celle de Sharpe luimême dans son article de 1994 [Sha94]. Dans ses contributions antérieures [Sha66] [Sha75b], le benchmark n’était eneffet pas quelconque mais était toujours l’actif certain. Depuis ces contributions, les mesures corrigées du risque ont été largement diffusés dans les milieux professionnels. Aux Etats-Unis notamment, la société BARRA l’a très souvent utilisée en l’appelant ratio d’information. Grinold & Kahn [2000] [GK00], qui ont été longtemps membres de l’équipe de recherche de BARRA, en ont développé lesconséquences importantes pour la gestion active. Cependant, le ratio d’information était défini par rapport à un benchmark différent en général de l’actif sans risque. La définition de Sharpe constitue donc une synthèse de ces deux approches historiquement distincts. Cependant, comme on le verra, le fondement du ratio d’information (et de sa dénomination) demeure distinct du ratio de Sharpe ( Goodwin [1998][Goo98]) 2

σ ({djt : t = 1..., T } = b

v u P ³ ´2 u T b t t=1 djt T −1

(5)

2

Propriétés

Les ratios de Sharpe se caractétisent par plusieurs propriétés élémentaires mais essentielles. Tout d’abord le ratio de Sharpe est indépendant de la taille de l’investissement réalisé. Par contre, il dépend de manière cruciale de l’horizon que l’on choisit même si l’on suppose que les...
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