I Rayon de convergence 1/9
Table des matières
I Rayon de convergence 1
I.1 Série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Propriétés de la somme, cas réel 4
II.1 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

II.2 Dérivation
II.2.1 Théorème
Soit f la somme de la série entière
∑
n∈N anxn de rayon de convergence R > 0. f est dérivable sur ] − R, R[ et pour x ∈] − R, R[ on a f ′(x) =
+∞∑
n=1 nanxn−1 =
+∞∑
n=0
(n + 1)an+1xn
Chap 8 : Séries entières6/9 III Développement en série entière
. Remarquons que la série entière qui définit f ′ est également de rayon de convergence
R.
Preuve.
Hors programme.
Posons, au hasard, g : x 7→
+∞∑
n=0 n + 1an+1xn qui est bien définie sur ] − R, R[, continue et que l’on peut intégrer terme à terme d’après le théorème II.1.2. Alors pour x ∈] − R, R[,
∫ x
0 g(t)dt = f(x) − a0 et donc f est une primitive de g.
Ainsi f est dérivable et f ′ = g.
II.2.2 Exemple
Calculons S =
+∞∑
n=1 n 2n−1 …afficher plus de contenu…

Notons f : x 7→
1
1−x sa somme. Sa dérivée aussi et est x 7→
+∞∑
n=1 nxn−1. Ainsi S = f ′( 1
2 ) = 1
(1− 1
2 )2 = 4.
II.2.3 Théorème
Soit f la somme de la série entière
∑
n∈N anxn de rayon de convergence R > 0. Alors f est de classe C∞ sur ] − R, R[ et les dérivées de f sont obtenues par dérivation terme à terme de la série entière, ou encore
∀k ∈ N∀x ∈] − R, R[ f (k)(x) =
+∞∑
n=k n! (n − k)!anxn−k =
+∞∑
k=0
(n + k)! n! an+kxn
Preuve.
Simple récurrence. Hors programme aussi.
II.2.4 Exemple
Posons f :