EXERCICES SUR LES ENSEMBLES
1. On consid`re les ensembles suivants : e A = {1, 2, 5} , B = {{1, 2}, 5} , C = {{1, 2, 5}} , D = {∅, 1, 2, 5} ,
E = {5, 1, 2} , F = {{1, 2}, {5}} , G = {{1, 2}, {5}, 5} , H = {5, {1}, {2}} .
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Quelles sont les relations d’´galit´ ou d’inclusion existant entre ces ensembles ? e e
Donner le nombre d’´l´ments de chacun de ces ensembles. ee D´terminer A ∩ B, G ∪ H, E \ G. e Quel est le compl´mentaire de A dans D ? e 2. Les notations ∅, {∅}, {{∅}} d´signent-elles le mˆme ensemble ? e e
3. On consid`re les sous-ensembles de N suivants : e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B = {1, 3, 5, 7} , C = {2, 4, 6} , D = {3, 6} .
1)
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3)
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D´terminer e D´terminer e D´terminer e D´terminer e B ∩ D, C ∩ D.
B ∪ C, C ∪ D. Une des ces r´union est-elle disjointe ? e C ∆ D. les compl´mentaires dans A de B, C et D. e 4. Donner en extension l’ensemble des nombres pairs compris entre 3 et 9.
5. Donner en compr´hension l’ensemble {2, 4, 8, 16, 32}. e 6. Soit Q l’ensemble des quadrilat`res du plan. On consid`re les sous-ensembles suivants : e e
A l’ensemble des quadrilat`res ayant un angle droit e P l’ensemble des parall´logrammes e L l’ensemble des losanges
T l’ensemble des trap`zes e R l’ensemble des rectangles
C l’ensemble des carr´s. e 1) Quelles sont les relations d’inclusion existant entre ces ensembles.
2) D´terminer A ∩ L, A ∩ P , L ∩ R. e 7. Que peut-on dire de A = {B | B ∈ B} ?
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8. Soit A, B, C, D quatre sous-ensembles de Ω.
1) Montrer que si A ⊂ B et C ⊂ D, alors A ∩ C ⊂ B ∩ D et A ∪ C ⊂ B ∪ D.
2) Montrer que A ⊂ B ∩ C, si et seulement si A ⊂ B et A ⊂ C.
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3) Montrer que B ∪ C ⊂ A, si et seulement si B ⊂ A et C ⊂ A.
4) Montrer que A ∪ B = A ∩ B si et seulement si A = B.
9. Soit A et B deux sous-ensembles de Ω. Montrer que A et B sont disjoints si et seulement si AC ∪ B C = Ω.
10. Soit A, B et C trois sous-ensembles de Ω. Montrer les formules suivantes :
1) (A ∪ B)