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Pages: 5 (1051 mots) Publié le: 9 janvier 2014
Systèmes linéaires à 2 inconnues
Emilien Suquet, suquet@automaths.com

0 Introduction

Equation linéaire à deux inconnues

2x + y = 4 est une équation linéaire à deux inconnues x et y.
La résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient l’équation 2x + y = 4.
( 2 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas l’équation : 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 4
( 1 , 3 ), ( -2 , 8 ) sont des couples solution : 2 × 1 + 3 = 7 et 2 × (-2) + 8 = 7

On dit que deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les même solutions.
Si on multiplie, divise, additionne ou soustrait les deux membres d’une équation (E)
par un même nombre non nul, on obtient une équation (E’) équivalente à (E)

Système de deux équations linéaires à deux inconnues



2x+3y=8
4 x + y = 6 est un système linéaire à deux équations deux inconnues

Le résoudre, c’est rechercher tous les couples de solutions (x,y) qui vérifient simultanément les
deux équations 2x + 3y = 8 et 4x + y = 6
( 1 , 3 ) n’est pas un couple solution car il ne vérifie pas la première équation : 2 × 1 + 3 × 3 = 11 ≠ 8
( 2 , -2 ) n’est pas une solution car il ne vérifie pas la premièreéquation ( il vérifie pourtant la seconde )
( 1, 2 ) est un couple solution : 2 × 1 + 3 × 2 = 8 ET 4 × 1 + 2 = 6

On dit que deux systèmes sont équivalent s’ils ont exactement les mêmes solutions.
Il existe des manipulations qui permettent de transformer un système (S) en un
système (S’) équivalent. Nous allons en étudier trois dans le paragraphe suivant

1

Troisième - Systèmes

IRésolution d’un système
Les manipulations A, B et C présentées ci-dessous permettent de modifier un système sans en modifier
ses solutions.
Manipulation A : modification d’une équation
On peut modifier un système sans en changer ses solutions en remplaçant une de ses équations par une
équation équivalente :








2x + y = 4
x – y = -1








x = y – 1 est une équationéquivalente à x – y = -1

2x + y = 4
x=y–1

2x + 3y = 7
x + 0.5y = 1.5
2x + 3y = 7
2x + y = 3

2x + 3y = 7 est une équation
équivalente à x + 0.5 y = 1.5

Manipulation B : substitution

Manipulation C : combinaison linéaire





2x+y=4
x=y–1





2(y–1)+y=4
x=y–1

On peut remplacer une des deux équations d’un
système par la somme ( ou la différence ) desdeux équations du système. Il faut alors
absolument garder l’autre équation.

On sait que x vaut y – 1,
on remplace donc dans
la première équation x
par cette valeur : y - 1





2x + 3y = 7
2x + y = 3





on peut maintenant terminer la résolution :

2x + 3y = 7
( 2x + 3y ) – ( 2x + y ) = 7 – 3

On remplace la seconde ligne par la
différence des deux lignes dusystème et on garde la première.





2y – 2 + y = 4
x=y–1





3y = 6
x=y–1

on peut maintenant terminer la résolution :





y=2
x=y–1





2x + 3y = 7
2y = 4





y=2
x = 1 ( par substitution )





2x + 3 × 2 = 7
y = 2 ( par substitution )





x = 0.5
y=2

S = { (1 ; 2) }
Lorsque l’on résout un système en utilisant
seulementla manipulation A et la manipulation
B, on dit que l’on résout le système par
substitution.





2x + 3y = 7
y=2

S = { (0.5 ; 2) }

Lorsque l’on résout un système en utilisant la
manipulation C, on dit que l’on résout le
système par combinaisons linéaires.

Quelle méthode utiliser ?
Vous êtes libre du choix à moins que l’énoncé impose la méthode à utiliser.
Ceci dit, jevous recommande la méthode par combinaisons linéaires car elle permet de limiter d’en
beaucoup de cas les calculs avec des fractions.
2

Troisième - Systèmes

III Interprétation graphique
 2x + y = 4
Reprenons l’exemple du I :  x – y = -1

 y = 4 – 2x
On peut écrire ce système sous la forme :  y = x + 1 ( on a effectué une modification de type A )


On remarque que les deux...
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