statistique

Pages: 6 (1439 mots) Publié le: 13 janvier 2014
L3 S5 Eco-Gestion


2013-2014

Tests Paramétriques
0

Préambule
loi
normale centrée réduite
Student à n d.d.l.
χ2 à n d.d.l.
Fisher à n et m d.d.l.
binomiale (n; p)

1

notation
N (0; 1)
Tn
χ2
n
Fn;m
B(n; p)

quantile d’ordre β

tn;β
χ2
n;β
wn;m;β
bn;p;β

Comparaison d’un paramètre à une valeur de référence

X1 , . . . , Xn est un échantillon de variablesaléatoires i.i.d. de moyenne µ (finie) et de variance σ 2 (finie).
¯
On note X = ( n Xi ) /n l’estimateur de la moyenne et S 2 =
i=1
sans biais de la variance.

1.1

n
i=1 (Xi

¯
− X)2 /(n−1) l’estimateur

Tests portant sur une moyenne

On souhaite comparer la valeur inconnue de µ à une valeur de référence µ0 par un test de seuil α
(0 < α < 1).
• test bilatéral : H0 : µ = µ0 vs H1 : µ= µ0
◦ σ connu

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X − µ0 )/σ
∗ sous H0 : Z∼N (0; 1) approximativementa
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : |Z| > z1−α/2

◦ σ inconnub

√ ¯
∗ statistique de test : T = n(X − µ0 )/S
∗ sous H0 : T ∼ Tn−1
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : |T | > tn−1;1−α/2

• test unilatéralb : H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0
◦ σ connu

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X− µ0 )/σ
∗ sous H0 : P(Z > z1−α ) ≤ α
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : Z > z1−α

◦ σ inconnu

√ ¯
∗ statistique de test : T = n(X − µ0 )/S
∗ sous H0 : P(T > tn−1;1−α ) ≤ α
∗ zone de rejet au seuil α : T > tn−1;1−α

A. Lourme, Faculté d’économie, gestion & AES, Université Montesquieu - Bordeaux IV. http://alexandrelourme.
free.fr
a ce résultat est une conséquence du TCL etl’approximation est d’autant meilleure que n est grand. Lorsque les variables
Xi (i = 1, . . . , n) sont gaussiennes, il ne s’agit pas d’une approximation : N (0; 1) est la distribution exacte de Z.
b on suppose que les variables X (i = 1, . . . , n) sont gaussiennes
i

1

1.2

Tests portant sur une proportion

On suppose que les variables X1 , . . . , Xn sont i.i.d. à B(1; p) (loi de Bernoulli deparamètre p). On
souhaite comparer la valeur inconnue de p à une valeur de référence p0 .
• test bilatéral : H0 : p = p0 vs H1 : p = p0
◦ test exactc

¯
∗ statistique de test : Y = nX
∗ sous H0 : Y ∼B(n; p0 )
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : Y < bn;p0 ;α/2 ou Y > bn;p0 ;1−α/2

◦ test approchéd

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X − p0 )/ p0 (1 − p0 )
∗ sous H0 : Z∼N (0; 1)approximativement
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : |Z| > z1−α/2

• test unilatéral : H0 : µ ≤ p0 vs H1 : p > µ0
◦ test exactc

¯
∗ statistique de test : Y = nX
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : Y > bn;p0 ;1−α

◦ test approchée

√ ¯
∗ statistique de test : Z = n(X − p0 )/ p0 (1 − p0 )
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : Z > z1−α

1.3

Tests portant sur une variance

2
On souhaitecomparer la valeur inconnue de σ 2 à une valeur de référence σ0 ; les variables X1 , . . . , Xn de
1 sont supposées gaussiennes.
2
2
• test bilatéral : H0 : σ 2 = σ0 vs H1 : σ 2 = σ0
2
∗ statistique de test : W = (n − 1)S 2 /σ0

∗ sous H0 : W ∼χ2
n−1

2
∗ zone de rejet de H0 au seuil α : W < χ2
n−1;α/2 ou W > χn−1;1−α/2
2
2
• test unilatéral : H0 : σ 2 ≤ σ0 vs H1 : σ 2 > σ0
2
∗statistique de test : W = (n − 1)S 2 /σ0

∗ sous H0 : P(W > χ2
n−1;1−α ) ≤ α

∗ zone de rejet de H0 au seuil α : W > χ2
n−1;1−α

2

Comparaison de deux paramètres

2
2
Xa,1 , . . . , Xa,n ∼ N (µa , σa ) et Xb,1 , . . . , Xb,m ∼ N (µb , σb ) sont deux échantillons indépendants.
i.i.d.

i.i.d.

n
i=1

m
¯
¯
On note Xa = (
Xa,i ) /n, (resp. Xb = ( i=1 Xb,i ) /m) l’estimateur dela moyenne dans
n
m
¯ 2 /(n− 1) (resp. S 2 =
¯ 2 /(m− 1))
l’échantillon a (resp. b) et Sa2 =
b
i=1 (Xa,i − Xa )
i=1 (Xb,i − Xb )
l’estimateur sans biais de la variance.

c les quantiles de B(n; p) nécessaires à ce test peuvent être déterminés à l’aide d’un logiciel. Ainsi qbinom(0.9, 40,
0.21, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) donne le quantile d’ordre 0, 9 de B(40; 0, 21) sous...
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