UNIVERSITE MOHAMED V – AGDAL Session : printemps été 2007 Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Filière des Sciences Economiques et Gestion Semestre : IV Sections : A , B et C Module : Méthodes Quantitatives III Matière : STATISTIQUE III Responsable de la matière : Adil ELMARHOUM

Traiter les trois exercices suivants : (Documents non autorisés)

Exercice 1 On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d'un même objet donné suit une loi normale de moyenne et d'écart type inconnus. On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet : masse en grammes 72,20 72,24 72,26 72,30 72,36 72,39 72,42 72,48 72,50 72,54

1) Calculer la moyenne et l'écart type de cet échantillon. 2) En déduire des estimations ponctuelles de la moyenne et de l'écart type de la population. 3) Donner un intervalle de confiance au seuil de 5% de la moyenne de la population. 4) Déterminer la taille de l’échantillon pour que au seuil de 5 %, l’intervalle de confiance de la moyenne soit [72,31 ; 72,43].

Exercice 2 La durée de fonctionnement d’une photocopieuse entre deux pannes successives est une variable aléatoire qui a pour fonction de densité :

x  f (x)  e ²

x 

Si x > 0

f(x) = 0 sinon

Avec λ un paramètre inconnu et à estimer. a) Calculer E(X) et V(X). b) Estimer λ par la méthode du maximum de vraisemblance. c) L’estimateur obtenu est-il efficace ? d) L’estimateur obtenu est-il consistant ?

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Exercice 3 Lors d’une étude biologique portant sur une certaine espèce de mollusques, on a mesuré le taux de protéines de 36 individus appartenant à cette espèce. On a obtenu les résultats suivants: Taux de ]0 ; 2[ ]2 ; 4[ ]4 ; 6[ ]6 ; 8[ ]8 ; 10[ ]10 ; 12[ ]12 ; 14] protéines en mg Nombre d’individus 8 7 4 9 2 3 3

a) Peut-on admettre que le taux de protéines se distribue selon une loi normale ? TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE REDUITE
Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5