2nde ISI

Fonctions chapitre 4

2009-2010

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Définitions 1 3 4

II Variations et représentation graphique III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P

I

Définitions
Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme P (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a = 0.

Exemple 1 Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !

fonctions polynôme de degré 2 P (x) = 2x2 − 5x + 3 P (x) = −x2 + 3 P (x) = −7x2 + 3x

coefficients a = 2, b = −5, c = 3 a = −1, b = 0, c = 3 a = −7, b = 3, c = 0

autres fonctions P (x) = x3 + 2x2 − 5x + 3 P (x) = x − 5 f (x) = x2 − 5x + 1 x

Définition 2 Une expression de la forme a(x − α)2 + b avec a = 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique.

Exemple 2 L’expression P (x) = 2(x − 1)2 + 3 est la forme canonique du polynôme P (x) = 2x2 − 4x + 5. En effet : 2(x − 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x + 1) + 3 = 2x2 − 4x + 5 = P (x).

http://mathematiques.daval.free.fr

-1-

2nde ISI

Fonctions chapitre 4

2009-2010

II

Variations et représentation graphique

Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.

Propriété 1 La fonction polynôme de degré 2 définir sur ] − ∞ ; +∞ [ est : o strictement décroissante puis strictement croissante si a > 0, o strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0,

Tableau de variations et représentation graphique : a>0 x −∞ +∞ f min b x = − 2a b − 2a

a 0, alors a(x − α)2 ≥ 0 donc, a(x − α)2 + β ≥ β le minimum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0, c’est-à-dire pour x = α.
Exemple 3 Soit P (x) = 2(x − 2)2 − 1, on obtient : P est décroissante sur ] − ∞ ; 2 ], croissante sur [ 2 + ∞ [. Son minimum atteint en 2 vaut −1. x −∞ +∞ f −1 2 +∞ +∞ f −∞ −∞

Si a < 0, alors a(x − α)2 ≤ 0 donc, a(x − α)2 + β ≤ β le Maximum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0,