Méthodes Ch 2 : Démonstration par récurrence – Suites numériques

Devant un exercice lié à une suite (un)

. Se demander quel est le premier terme, comment il se note
. Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales )

Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
B – Calculer un en fonction de n
C – Etudier les variations de (un)
D – Calculer la somme de termes consécutifs
E – Etudier le comportement de (un) à l’infini
F – Montrer que la suite est majorée, minorée, bornée

A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
- Pour démontrer que (un) est arithmétique, montrer que la différence u n + 1 – u n est constante (u n + 1 – u n = r)
- Pour démontrer que (un) est géométrique, calculer u n + 1 en fonction de u n ( u n + 1 = q u n ) ou bien , si on peut affirmer que pour toutes valeurs de n on a u n 0,montrer que le quotient est constant ( = q )
B – Calculer un en fonction de n
Si c’est une suite arithmétique ou géométrique, utiliser les résultats concernant le terme général d’une telle suite.
Pour arithmétique : u n = u0 + n r ou bien un = u1 + ( n – 1 ) r ou encore un = u k + ( n – k ) r .
Pour géométrique : un = u0 qn ou bien un = u1 q n – 1 ou encore un = uk q n – k .
Si non, se laisser guider par le texte de l’exercice .

C – Etudier les variations de (un)
Les différentes méthodes pour démontrer qu’une suite est croissante ou décroissante sont :
. l’utilisation des propriétés des inégalités pour comparer directement u n + 1 et u n
. la méthode de la différence en étudiant le signe de u n + 1 – u n
. la méthode du quotient, si les termes sont stictement positifs, en comparant le quotient à 1
. la méthode fonctionnelle, si la suite est définie par u n = f(n) en utilisant les variations de f sur [ 0 ; + [
. l’utilisation du raisonnement par récurrence si la suite est donnée sous forme récurrente : u n