ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015

Feuille d’exercices no 6

`mes et matrices
Syste
Exercice 1.
R´esoudre
les syst`emes suivants :

 x−y+z =3
(a) x + 2y + 1z = 7

x + y + 2z = 1


 −2x + 5y + 4z = −17 x − 3y − z = 7
(b)

3x + y − 3z = 1


 3x + y − 2z = −5
(c) 2x − y − 4z = −11

x+y+z =2

* Exercice 2.


 x − 2y + 3z = 2 x + 3y − 2z = 5
Soit a un nombre r´eel, on ´etudie le syst`eme suivant :

2x − y + az = 1
D´eterminer selon les valeurs de a le nombre de solutions du syst`eme.
Exercice 3.
A=





3 −1 3
1 0
1 2 3
, B = 2 1, C = 4 1 5, D =
2 1 4
2 1 3
3 2



2 −4 5
3 −2
, E = 0 1 4 et F =
2 4
3 2 1

−4 5
.
2 3

Quand c’est possible, calculer les matrices suivantes :
C + E,

AB,

BA,

2D − 3F,

AB + DF,

EF − 2A,

AB + AE

Exercice 4.

 
2
2 −2
D =  1  et E = 0 1 2
A=
B=
C= 1 1 
3
3 1
Calculer toutes les sommes et tous les produits que l’on peut faire avec 2 de ces matrices.
Penser au fait que le produit n’est pas commutatif !
1 0
2 4

−2 −1
3
1

Exercice 5.
0 1
Soient A =
4 0

et B =



4 0
. Calculer (A + B)2 et A2 + 2AB + B 2 .
0 1

Exercice 6.
Les matrices suivantes ? si ouicalculer leurs inverses.

 sont-elles inversibles


1
2 1 −1
1 0 −1 et *C =  2 et B= 0 3 0 
A= 2 0 1 
3
0 2 1
1 1 3





1 −1
1 −1 1
3 2 1 et F = −1 −1 et E = 1 −1 −1
D = 3 0 1
0
0
2 −2 0
2 1 1
* Exercice
 7.



1 0 0
1 1 1
Soient A =  0 1 1  ;
B= 0 1 0 
3 1 1
1 0 0
1. Montrer que AB = AC.
2. La matrice A est-elle inversible ?

et


2 3
3 1 
1 2

1
1
2




1 1
1
1 .
C= 1 2
0 −1 −1

Exercice 8.

−1 1
1
La matrice A est d´efinie par A =  1 −1 1 .
1
1 −1
Montrer que A2 = 2I − A, en d´eduire que A est inversible et d´eterminer A−1 .


1/2

ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015

Feuille d’exercices no 6

Exercice 9.


1

0
La matrice A est d´efinie par A =
1
Calculer A3 − A. En d´eduire que A est


0 2
−1 1 .
−2 0 inversible et calculer A−1 .

Exercice
10.


3 0 0
Soit A =  0 9 −6 . On pose B = A − 3I.
0 6 −3
1. Calculer B