td15(polynomes).dviLycée Joffre Année 2015-2016
PCSI 1. Feuille 15
TD n◦15: Polynômes .
Exercice 1
Déterminer le reste de la division euclidienne de X4 +X3 + 2X + 1 par X2 + 1.
Exercice 2
Déterminer a et b dans R tels que X2 + 2 divise X4 +X3 + aX2 + bX + 2.
Exercice 3
Effectuer la division euclidienne de A par B lorsque :
1. A(X) = X7 − 2X + 1 et B(X) = X2 − 1
2. A(X) = 3X5 + 4X2 + 1 et B(X) = X2 + 2X + 3
Exercice 4
Montrer que X (X − 2) divise (X − 1)4 + (X − 1)2 − 2 et calculer le quotient.
Exercice 5 …afficher plus de contenu…

Montrer que i est racine de P. En déduire une factorisation dans C[X ] puis dans R[X ] (en produit de polynômes irréductibles) de P.
Exercice 6
Factoriser X4 − 14X2 + 24X − 8 en facteurs irréductibles sur R[X ] sachant qu’il possède une racine multiple.
Exercice 7
Factoriser X4 +2X3 +4X2 +2X +3 en facteurs irréductibles sur R[X ] sachant que i est racine.
Exercice 8
Déterminer les racines de 5X4 + 10X2 + 1.
Exercice 9
Factoriser X7 − 3 sur C[X ] et R[X ].
Exercice 10
Déterminer le reste de la division euclidienne de P (X) = X7 − 3X5 − 2X4 + 5 par
X2 − 3X + 2 puis par (X + 1)2.
Exercice 11
Déterminer les polynômes P de C[X ] tels que P ′ divise P . …afficher plus de contenu…

On a P (1) = 0, on calcule les dérivées successives de P :
P ′ n(X) = n(n+ 2)Xn+1 − (n+ 2)(n+ 1)Xn + (n+ 2), P ′ n(1) = 0
P (2) n (X) = n(n+ 2)(n+ 1)Xn − n(n+ 1)(n+ 2)Xn−1, P (2) n (1) = 0
P (3) n (X) = n2(n+2)(n+1)Xn−1−n(n+1)(n+2)(n−1)Xn−2 pour n 6= 1, P
(3)
1 (X) = n2(n+1)(
1 est donc racine de Pn de multiplicité 3.
2. P1(X) = X3 − 3X2 + 3X − 1. On sait que (X − 1)3 divise P est comme ils sont tous les deux unitaires, on a P1(X) = (X − 1)3.
P2(X) = 2X4 − 4X3 + 4X − 2 = 2(X − 1)3(X + b) et en identifiant les termes constants, on trouve b = 1.
P3(X) = (X− 1)3(3X2+4X+3) en faisant le division euclidienne. On remarque que le polynôme 3X2 +4X +3 est de discriminant négatif donc il est irréductible sur R. La factorisation dans C est
P3(X) = 3(X − 1)3
(
X +
2 +