Titre

Pages: 39 (9601 mots) Publié le: 21 mars 2013
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012

Enoncés Exercice 8 [ 03497 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < .

1

Suites numériques
Convergence d’une suite numérique
Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un
Calculs de limites
Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : √ √ n n a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 3 +(−2) c) un = n ∈ N, un a et vn b un + vn → a + b Exercice 10 [ 02255 ] [correction] Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : √ n 1 n a) un = 1 + n b) un = n2
1 c) un= sin n 1/n √ n−√n2 +1 d) n+ n2 −1

Exercice 2 [ 02248 ] [correction] Montrer que (un ) ∈ ZN converge si, et seulement si, (un ) est stationnaire. Exercice 3 [correction]

[ 02249 ]

un =

1 n2

n

k
k=1

Soit (a, b) ∈ R2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que : Montrer que un → a et vn → b.

Exercice 4 [ 02250 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que(un + vn ) et (un − vn ) convergent. Montrer que (un ) et (vn ) convergent. Exercice 5 [ 02251 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ).
n→+∞

d) un =

n−1 n+1

n

Exercice 11 [ 02256 ] [correction] Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : sin n n! a) un = n+(−1)n+1 b) un = nn c) un =
n−(−1)n n+(−1)n d)
n

un =en nn

Exercice 6 [ 02252 ] [correction] Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que
2 u2 + un vn + vn → 0 n

e) un =

2 + (−1)n

Démontrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers 0. Exercice 7 [ 02253 ] [correction] Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que 0 Que dire de ces suites ? un 1, 0 vn 1 et un vn → 1

Exercice 12 [ 02257 ] [correction] Déterminer les limitesdes sommes suivantes : n n √ 1 √ . a) Sn = kb) Sn = k
k=1 n k=1

c) Sn =
k=1 n

1 n2 +k2

d) Sn = Sn =

e) Sn =
k=1 n

n n2 +k f)

1 k2 k=n+1 n √ 1 n2 +k k=1

2n

g) Sn =
k=0

(−1)n−k k!
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012 Exercice 13 Comparer lim
[ 02258 ]

Enoncés Exercice 17 [ 02262 ][correction] Soit a ∈ R et pour n ∈ N,

2

[correction]
m m n

n

m→+∞ n→+∞

lim

1 1− n

, lim

n→+∞ m→+∞

lim

1 1− n

et

n→+∞

lim

1 1− n

Pn =
k=1

cos

a 2k

Montrer que sin a 1 Pn = n sin a 2n 2

Exercice 14 [ 02259 ] [correction] √ Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose n un → . a) Montrer que si < 1 alors un → 0. b) Montrerque si > 1 alors un → +∞. c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure.

et déterminer lim Pn .
n→∞

Exercice 18 [ 02263 ] [correction] Déterminer la limite de
n

un =
k=0

n k

−1

Exercice 15 [ 02260 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose un+1 → un a) Montrer que si < 1 alors un → 0. b) Montrer que si > 1 alors un → +∞. c) Montrerque dans le cas = 1 on ne peut rien conclure.

Exercice 19 [ 02264 ] [correction] Soit p ∈ N\ {0, 1}. Pour n ∈ N on pose un = a) Montrer que ∀n ∈ N, (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1 b) Montrer par récurrence 1 (1 − (n + p + 1)un+1 ) p−1 n+p n
−1 n

et Sn =
k=1

uk

Exercice 16 [ 02261 ] [correction] Pour tout n ∈ N, on pose
n

Sn =

Sn =
k=1

1 et Sn = n+k

n

k=1

(−1)k−1 kc) On pose ∀n ∈ N vn = (n + p)un . Montrer que (vn ) converge vers 0. d) En déduire lim Sn en fonction de p. Exercice 20 X MP [ 03039 ] [correction] Soit z ∈ C avec |z| < 1. Existence et calcul de
n n→+∞

a) Etablir que pour tout p > 1,
p+1 p

dx x

1 p

p p−1

dx x

lim

1 + z2
k=0

k

En déduire la limite de (Sn ). b) Etablir que S2n = Sn . En déduire la limite de (Sn...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Sans Titre
  • Pas de titre
  • Titre
  • TITRE
  • titre
  • titre
  • Titre
  • Titre

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !