Fiche n°1

Trinômes
Définition : On appelle trinôme toute expression définie sur ( a, b, c ) ∈ * × × . 1. Forme canonique
⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ P ( x ) = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥ 2a ⎠ 4a 2 ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦
2

de la forme ax 2 + bx + c avec

2. Résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0 . On pose ∆ = b2 − 4ac . P ( x ) s’écrit alors sous la forme : P ( x ) = a ⎢⎛ x + ⎜
⎢⎝ ⎣ ⎡
2 b ⎞ ∆ ⎤ ⎟ − 2 ⎥ . On en déduit les 2a ⎠ 4a ⎥ ⎦

résultats suivants : • Si ∆ < 0 , alors S = ∅ . • • Si ∆ = 0 , alors S = ⎧− ⎨ b ⎫ ⎬. ⎩ 2a ⎭ ⎧ −b − ∆ −b + ∆ ⎫ ⎪ ; Si ∆ > 0 , alors S = ⎪ ⎨ ⎬. 2a 2a ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

3. Factorisation de ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 • • • Si ∆ < 0 , alors ax 2 + bx + c n’est pas factorisable en un produit de facteurs du premier degré dans Si ∆ = 0 , alors P ( x ) = a ⎛ x + ⎜
⎝ b ⎞ ⎟ 2a ⎠
2

.

.
−b − ∆ 2a

Si ∆ > 0 , alors P ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) avec x1 =

et x2 =

−b + ∆ 2a

.

4. Signe de ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 • • • Si ∆ < 0 , alors P ( x ) est du signe de a sur Si ∆ = 0 , alors P ( x ) est du signe de a sur .
⎞ ⎧ −b ⎫ ⎛ ⎛ b ⎞ \ ⎨ ⎬ ⎜ et P ⎜ − ⎟ = 0 ⎟ . ⎩ 2a ⎭ ⎝ ⎝ 2a ⎠ ⎠

Si ∆ > 0 , alors P ( x ) est du signe de a à l’extérieur des racines.

5. Représentation graphique d’une fonction trinôme Graphiquement, on a 6 cas : • Si a > 0 , la parabole est tournée vers le haut : y ∆0

o

o

o

•

Si a < 0 , la parabole est tournée vers le bas et on a trois cas analogues.