La fonction de production dans l’analyse néo-classique
Jean-Marie Harribey

La fonction de production est une relation mathématique établie entre la quantité produite et le ou les facteurs de production utilisés, ou encore entre l’output et les inputs.

A- Rappels sur quelques outils mathématiques
1. Signification de la notion de continuité d’une fonction. On dit qu’une fonction f est continue en x0 si et seulement si f(x) tend vers f(x0) quand x tend vers x0 ; i.e. la fonction est définie au voisinage de x0 et au point x0. f(x) f(x0) f(x)

x0

x

x0 x en x0 la fonction n’est pas définie

En économie, la continuité est une hypothèse irréaliste car la production se mesure en unités entières: par exemple, le nombre d’automobiles. Mais on admet que lorsqu’on raisonne sur de grandes quantités, l’hypothèse de continuité devient acceptable. 2. Signification de la notion de dérivée. Une fonction définie au voisinage d’un point a pour dérivée la lim Δf/Δx quand Δx → 0. Ou encore: . f (x + Δx) − f (x) df lim notée f ' (x) ou ou f quand f est fonction du temps. Δx dx B Soit une fonction concave sur l’intervalle (x, x+Δx). Quand Δx → 0, le segment AB tend vers la tangente en A à la courbe. En ce point, la pente de cette tangente est égale à A la valeur de la fonction dérivée en ce point.

x

x+Δx

2 Soit f(x). Si dans un intervalle de valeurs de x: f’(x) > 0, f(x) croissant sur cet intervalle si f’’(x) > 0, f(x) croissant à taux croissant si f’’(x) < 0, f(x) croissant à taux décroissant f’(x) < 0, f(x) décroissant sur cet intervalle si f’’(x) < 0, f(x) décroissant à taux décroissant si f’’(x) > 0, f(x) décroissant à taux croissant

(1) (2) (3) (4)

1

2

3

4

D’où: si f’(x) = 0 et f’’(x) < 0, f(x) passe par un maximum si f’(x) = 0 et f’’(x) > 0, f(x) passe par un minimum. 3. Signification de la notion d’homogénéité des fonctions. Soit une fonction à deux variables f(x, y). La fonction est dite homogène de degré h si pour tout nombre entier t