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1 Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .
2 Soit Cf la courbe représentative de f.
a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf.
b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf en A.
3 Etudier la position relative de la courbe Cf et de la droite T.
(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)g(x))
Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 2
−x −3 x1 .
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1 Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . f '(x) = x2 2x 3 = (x 3)(x + 1). f '(x) est un trinôme du second degré qui admet deux racines 1 et 3. Comme le coefficient de x2 est positif, f '(x) est positif à l'extérieur des racines et positif entre les racines. On peut construire le tableau de variations suivant :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f x =
2 Soit Cf la courbe représentative de f.
a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf.
b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf en A.
a) L'ordonnée de A est f (1) = 8/3.
b) Une équation de T est donnée par y = f '(1)(x 1) + f (1).
Comme f '(1) = 4 et f (1) = 8/3, on obtient l'équation y = 4x + 4/3
3 Etudier la position relative de la courbe Cf et de la droite T.
(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)g(x)) x3 4 x3 1
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2 d x = −x −3 x1−−4 x = − x x−
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Pour étudier le signe de d(x), on peut envisager deux méthodes : utiliser une factorisation ou étudier les variations de la fonction d.
Méthode 1
On remarque que d(1) = 0 car la courbe et la tangente passent par le point A d'abscisse 1. Cela donne l'idée de mettre (x1) en facteur, c'est à dire d'écrire d(x) sous la forme (x1)(ax2+bx+c).
Or (x1)(ax2+bx+c) = ax3 + bx2 + cx ax2 bx c = ax3 + (ba)x2 + (cb)x