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Pages: 2 (440 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Position relative d'une courbe
et d'une tangente
x3
Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x = −x 2−3 x1 .
3
1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .2­ Soit Cf  la courbe représentative de f.

a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf.

b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A.3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T.

(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))

Position relative d'une courbe et d'une tangente
x3
2
−x −3 x1 .
31­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .
f '(x) = x2 ­ 2x ­ 3 = (x ­ 3)(x + 1). f '(x) est un trinôme du second degré qui admet deux racines ­1 et 3. Comme le coefficient de x2 est positif, f '(x) est positif à l'extérieur des racines et positif 
entre les racines. On peut construire le tableau de variations suivant :
Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x =2­ Soit Cf  la courbe représentative de f.

a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf.
b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A.a) L'ordonnée de A est f (1) = ­8/3.  

b) Une équation de T est donnée par y = f '(1)(x ­ 1) + f (1). 
Comme f '(1) = ­4 et f (1) = ­8/3, on obtient l'équation y = ­4x + 4/33­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T.

(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))
x3
4
x3
1
2
2
d  x = −x −3 x1−−4 x  = − x  x−
3
3
3
3Pour étudier le signe de d(x), on peut envisager deux méthodes : utiliser une factorisation ou 
étudier les variations de la fonction d.
Méthode 1On remarque que d(1) = 0 car la courbe et la tangente passent par le point A d'abscisse 1. Cela 
donne l'idée de mettre (x­1) en facteur, c'est à dire d'écrire d(x) sous la forme (x­1)(ax2+bx+c). ...
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