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Pages: 36 (8849 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Loi normale
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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec : des théorèmes et lemmes de Gauss parfois appelés lois de Gauss, les autres lois de Laplace ou les autres sens du terme Normal.
Loi normale
Image illustrative de l'article Loi normale
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
La courbe rougereprésente la fonction \scriptstyle \varphi,
densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.
Image illustrative de l'article Loi normale
Fonction de répartition
La courbe rouge représente la fonction \scriptstyle \Phi,
fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Paramètres \mu, moyenne (nombre réel)
\sigma^2>0, variance (nombre réel)
Support \R
Densité de probabilité(fonction de masse) \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!~
Fonction de répartition \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!~
Espérance \mu
Médiane \mu
Mode \mu
Variance \sigma^2
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé 0
Entropie \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!~
Fonction génératrice des moments\exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Fonction caractéristique \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreuxobjets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée.

Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deuxparamètres : son espérance, un nombre réel noté \scriptstyle \mu, et son écart type, un nombre réel positif noté \scriptstyle \sigma. La densité de probabilité de la loi normale est donnée par :
f(x) = \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\;\; \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}.

La courbe de cette densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche, entre autres. C'est lareprésentation la plus connue de cette loi. La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard.

Lorsqu'une variable aléatoire \scriptstyle X suit la loi normale, elle est dite gaussienne ou normale et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance \scriptstyle \sigma^2 :
X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).

Parmi les lois deprobabilité, elle prend une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elle correspond au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques commedes mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale.

Sommaire

1 Définition et explications informelles
2 Histoire
3 Loi normale centrée réduite
3.1 Définition par la fonction de densité
3.2 Définition par la fonction de répartition
3.3 Définition par la fonction caractéristique
3.4Définition par la fonction génératrice des moments
4 Loi normale générale
4.1 Définition
4.2 Remarques et propriétés immédiates
5 Propriétés
5.1 Autres caractérisations
5.2 Moments
5.3 Théorèmes de convergence
5.4 Stabilités et famille normale
5.5 Entropie et quantité d'information
5.6 Approximation de la fonction de...
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