L’anneau des polynômes

Pages: 11 (2733 mots) Publié le: 28 avril 2010
Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay

L’anneau des polynômes
Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b)Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une expression simple de Pn (2 cos θ ) pour θ ∈ ℝ . d) Déterminer les racines de Pn .

Dérivation
Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : a) P ′ 2 = 4P d’inconnue P ∈ K [X ] b) (X 2 + 1)P ′′ − 6P = 0 d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n , il existe ununique polynôme Pn ∈ ℝ [X ] tel que

Pn − Pn′ = X n . Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels.
Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Soit P ∈ K [X ] . Montrer que P (X + 1) = ∑

Exercice 6

1 (n ) P (X ) . n! n =0

+∞

Arithmétique des polynômes
Exercice 7 Montrer les divisibilités suivantes et déterminer lesquotients correspondant : a) X −1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2 . Soit P = ∑ ak X k ∈ K[X ] .
k =0 n

Exercice 8

a) Montrer que P − X divise P P − P . b) En déduire que P − X divise P P − X . Exercice 9 Soit A, B ∈ K [X ] tels que A2 | B 2 . Montrer que A | B .

Exercice 10 Soit A, B ∈ K [X ] non constants et premiers entre eux. Montrer qu’ilexiste un unique couple (U ,V ) ∈ K [X ] tel que AU + BV = 1 et
2 2

U B {degV < deg A . deg < deg

Exercice 11 Soit (A, B ) ∈ K [X ] non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) A et B ne sont pas premiers entre eux. (ii) ∃(U ,V ) ∈ (K [X ]− {0}) 2 tel que AU + BV = 0 , degU < deg B et degV < deg A .

1

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr ||david Delaunay Exercice 12 Soit A, B ∈ K[X ] non nuls. Montrer : A et B sont premiers entre eux ssi A + B et AB le sont. Exercice 13 Soit A, B ,C ∈ K [X ] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer : pgcd(A, BC ) = pgcd(A,C ) .

Division euclidienne
Exercice 14 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ , µ ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4+ X 3 + λX 2 + µX + 2 . Exercice 15 Soit (a ,b ) ∈ K 2 tel que a ≠ b et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par

(X −a )(X −b ) en fonction de P (a ) et P (b ) .
Exercice 16 Soit a ∈ K et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X −a ) 2 en
fonction de P (a ) et P ′ (a ) .

Exercice 17 Soit t ∈ ℝ et n ∈ ℕ∗ . Déterminer le reste de ladivision euclidienne dans ℝ [X ] de (X cos t + sin t )n par X 2 + 1 . Exercice 18 Soit k , n ∈ ℕ∗ et r le reste de la division euclidienne de k par n . Montrer que le reste de la division euclidienne de X k par X n −1 est X r . Exercice 19 Soit n , m ∈ ℕ∗ . a) De la division euclidienne de n par m , déduire celle de X n −1 par X m −1 . b) Etablir que pgcd(X n −1, X m −1) = X pgcd(n ,m ) −1

L’espacevectoriel des polynômes
Exercice 20 Soit P1 = X 2 + 1 , P2 = X 2 + X −1 et P3 = X 2 + X .
Montrer que la famille (P1 , P2 , P3 ) est une base de K 2 [X ] .

Exercice 21 Pour k ∈ {0, …, n } , on pose Pk = (X + 1)k +1 − X k +1 .
Montrer que la famille (P0 ,…, Pn ) est une base de Kn [X ] .

Exercice 22 Pour k ∈ {0, …, n } , on pose Pk = X k (1− X )n −k .
Montrer que la famille (P0 ,…, Pn )est une base de Kn [X ] .

Exercice 23 On pose Pk =

X (X −1) … (X − k + 1) pour k ∈ {0, …, n } . k! a) Montrer que (P0 , P1 , …, Pn ) est une base de ℝ n [X ] .

b) Montrer que ∀x ∈ ℤ, ∀k ∈ ℤ , Pk (x ) ∈ ℤ . c) Trouver tous les polynômes P tels que ∀x ∈ ℤ, P (x ) ∈ ℤ .

Exercice 24 Soit E l’espace vectoriel des applications de ℝ dans ℝ . On considère F la partie de E constituée des...
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