L’anneau des polynômes

2733 mots 11 pages
Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay

L’anneau des polynômes
Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une expression simple de Pn (2 cos θ ) pour θ ∈ ℝ . d) Déterminer les racines de Pn .

Dérivation
Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : a) P ′ 2 = 4P d’inconnue P ∈ K [X ] b) (X 2 + 1)P ′′ − 6P = 0 d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n , il existe un unique polynôme Pn ∈ ℝ [X ] tel que

Pn − Pn′ = X n . Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels.
Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Soit P ∈ K [X ] . Montrer que P (X + 1) = ∑

Exercice 6

1 (n ) P (X ) . n! n =0

+∞

Arithmétique des polynômes
Exercice 7 Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X −1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2 . Soit P = ∑ ak X k ∈ K[X ] . k =0 n

Exercice 8

a) Montrer que P − X divise P P − P . b) En déduire que P − X divise P P − X . Exercice 9 Soit A, B ∈ K [X ] tels que A2 | B 2 . Montrer que A | B .

Exercice 10 Soit A, B ∈ K [X ] non constants et premiers entre eux. Montrer qu’il existe un unique couple (U ,V ) ∈ K [X ] tel que AU + BV = 1 et
2 2

U B {degV < deg A . deg < deg

Exercice 11 Soit (A, B ) ∈ K [X ] non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) A et B ne sont pas premiers entre eux. (ii) ∃(U ,V ) ∈ (K [X ]− {0}) 2 tel que AU + BV = 0 , degU < deg B et degV < deg A .

1

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