L'art

1120 mots 5 pages

Calcul matriciel |
Dernière mise à jour : 9 Septembre 2008

I. Définitions II. Opérations sur les matrices A. Addition, soustraction B. Multiplication par un nombre C. Transposition D. Multiplication des matrices E. Inversion des matrices carrées F. Déterminant d'une matrice carrée

III. Application aux systèmes d'équations linéaires G. Formulation matricielle H. Cas d'une matrice régulière I. Cas d'une matrice singulière

I. Définitions
Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : | | n et m sont les dimensions de la matrice.
Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier).

On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij]
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément vecteur-colonne) :

N.B. : Dans ce chapitre, nous utiliserons des lettres majuscules pour les matrices et des lettres minuscules pour les vecteurs, mais ce n'est pas obligatoire.
Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée.
Quelques matrices carrées particulières (Exemples avec n = 4) Matrice unité | | Parfois notée In n est la dimension de la matrice
(soit I4 dans cet exemple) | Matrice diagonale | | notée diag(Dii) | Matrice triangulaire supérieure
(Upper triangular matrix, U) | | | Matrice triangulaire inférieure
(Lower triangular matrix, L) | | |
Une matrice carrée A est dite symétrique si :
Aji = Aij pour tout i différent de j

II. Opérations sur les matrices

II.A. Addition, soustraction
L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions :

II.B. Multiplication par un nombre
Chaque terme de la matrice est multiplié par le nombre :

II.C. Transposition
La transposée AT

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