Chapitre 1

O SCILLATEUR HARMONIQUE

L’

oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d’un ressort et d’une masse. Cet exemple simple permettra d’introduire le concept fondamental d’équation différentielle. Plus généralement, le modèle de l’oscillateur harmonique rend compte de l’évolution d’un système physique au voisinage d’une position d’équilibre stable. Ainsi, nous retrouverons des oscillateurs dans le cadre de l’électricité (voir chapitre 7) ou du monde quantique (voir chapitre 4).

I. Introduction, définitions
I.1. Exemple
La photographie ci-contre montre la pointe de la sonde d’un microscope à force atomique (AFM) montée sur son levier. Cette pointe (d’une dimension de quelques micromètres) est approchée à très faible distance d’un échantillon dont on souhaite analyser la surface. Ce levier constitue un oscillateur mécanique, qui vibre librement à une fréquence de l’ordre de quelques kilohertz.
Sous l’action des interactions entre la pointe de la sonde et la surface de l’échantillon, la fréquence de ces oscillations est modifiée. La mesure du décalage en fréquence permet d’analyser la forme de la surface de l’échantillon.

Pointe AFM

Définition 1.1. Oscillateur
Un oscillateur est un système dont l’évolution est périodique. L’oscillateur est dit harmonique si la dépendance temporelle des oscillations est sinusoïdale.

I.2. Caractérisation du mouvement
I.2.1. Vocabulaire
De manière générale, l’oscillateur mécanique harmonique est un dispositif dans lequel une grandeur physique x (la position de la pointe portée par le levier dans l’exemple ci-dessus) oscille au cours du temps, comme c’est le cas sur la figure 1.1.
Sur cette figure, on constate que l’oscillation se fait entre deux valeurs extrêmes
±xmax ; lors de la définition de la grandeur x, il a été décidé de prendre comme origine une position telle que la valeur moyenne de x(t) soit nulle (cela revient à dire que x est le