L'oscillateur harmonique

Pages: 16 (3847 mots) Publié le: 6 octobre 2014
Chapitre 1

O SCILLATEUR HARMONIQUE

L’

oscillateur harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d’un ressort et d’une masse. Cet exemple simple permettra
d’introduire le concept fondamental d’équation différentielle. Plus généralement, le modèle de l’oscillateur harmonique rend compte de l’évolution d’un système
physique au voisinage d’une positiond’équilibre stable. Ainsi, nous retrouverons des
oscillateurs dans le cadre de l’électricité (voir chapitre 7) ou du monde quantique (voir
chapitre 4).

I. Introduction, définitions
I.1. Exemple
La photographie ci-contre montre la pointe de la
sonde d’un microscope à force atomique (AFM)
montée sur son levier. Cette pointe (d’une dimension de quelques micromètres) est approchée
à très faible distanced’un échantillon dont on
souhaite analyser la surface. Ce levier constitue
un oscillateur mécanique, qui vibre librement à
une fréquence de l’ordre de quelques kilohertz.
Sous l’action des interactions entre la pointe de la
sonde et la surface de l’échantillon, la fréquence
de ces oscillations est modifiée. La mesure du décalage en fréquence permet d’analyser la forme de
la surface del’échantillon.

Pointe AFM

Définition 1.1. Oscillateur
Un oscillateur est un système dont l’évolution est périodique. L’oscillateur est dit
harmonique si la dépendance temporelle des oscillations est sinusoïdale.

I.2. Caractérisation du mouvement
I.2.1. Vocabulaire
De manière générale, l’oscillateur mécanique harmonique est un dispositif dans lequel
une grandeur physique x (la position de lapointe portée par le levier dans l’exemple
ci-dessus) oscille au cours du temps, comme c’est le cas sur la figure 1.1.
Sur cette figure, on constate que l’oscillation se fait entre deux valeurs extrêmes
±xmax ; lors de la définition de la grandeur x, il a été décidé de prendre comme origine une position telle que la valeur moyenne de x(t) soit nulle (cela revient à dire que
x est le déplacement parrapport à la position d’équilibre, voir encadré « Méthode »
page 8). La valeur xmax est appelée amplitude de l’oscillation, à ne pas confondre avec
l’amplitude crête à crête qui désigne l’écart entre les valeurs extrêmes (soit 2xmax ).
© 2013 Pearson France – Physique MPSI-PCSI-PTSI – Jérôme Perez, Vincent Renvoizé

4
x
Partie I. Signaux physiques

xmax

t
T =


ω

−xmax
Fig.1.1. Évolution temporelle d’un oscillateur harmonique.

Définition 1.2. Amplitude
L’amplitude d’une oscillation harmonique est l’écart maximal à la valeur médiane
(qui est aussi la valeur moyenne du fait de la symétrie des alternances).
Par ailleurs, les oscillations sont périodiques, de plus petite période T sur la figure 1.1.
La fréquence f des oscillations est l’inverse de la période, f = 1/T. Enfin, la pulsation
est la grandeur définie par ω = 2πf . Fréquence et pulsation sont en principe homogènes l’une à l’autre, mais on emploiera systématiquement les unités hertz (Hz) pour
les fréquences et radian par seconde pour les pulsations.
Définition 1.3. Fréquence et pulsation
1
Pour un signal harmonique de période T , sa fréquence est f = T , exprimée en hertz

(Hz), et sapulsation est ω = T , exprimée en radian par seconde (rad · s−1 ).

Les oscillateurs mécaniques à l’échelle macroscopique sont souvent relativement lents,
avec des fréquences caractéristiques allant de quelques fractions de hertz (ondes
sismiques) à quelques dizaines de hertz (pendules, ressorts, etc.). Au contraire, les
oscillateurs microscopiques ou formés de particules élémentaires (oscillationsatomiques ou moléculaires) sont souvent très rapides, avec des fréquences jusqu’au
domaine optique (1014 à 1015 Hz) ou plus.
I.2.2. Représentation mathématique
La grandeur x(t) associée aux oscillations libres 1 d’un oscillateur harmonique est,
par définition, sinusoïdale. Elle peut donc s’écrire x(t) = xmax cos(ωt). D’après les
propriétés du cosinus, xmax représente bien l’amplitude...
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