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D´veloppements limit´s, croissance compar´e e e e Math´matiques e (2.1) D´veloppements limit´s usuels. Au voisinage de 0 et pour pout entier n : e e

R´sum´ du chapitre I : r´visions d’analyse e e e •

ex = 1 + x +



sin x = x −

x3
3!

+ ... +

(−1)n x2n+1
(2n+1)!



cos x = 1 −

x2
2!

+ ... +

(−1)n x2n
(2n)!



sh x = x +

x3
3!

+ ... +

x2n+1
(2n+1)!

(1.2) Fonctions ´quivalentes. Les fonctions f et g sont dites ´quivalentes au voisinage de x0 lorsque e e



ch x = 1 +

x2
2!

+ ... +

x2n
(2n)!

f (x) = g(x) + o(g(x)).



ln(1 + x) = x −



(1 + x)α = 1 + αx +

Relations de comparaison
Les fonctions intervenant ici sont d´finies (au moins) sur un voisinage de x0 , qui est un nombre r´el ou e e
±∞.
(1.1) Fonction n´gligeable, pr´pond´rance. On dit que f est n´gligeable devant ϕ au voisinage e e e e f (x) de x0 lorsque ϕ(x) → 0 lorsque x → x0 , ce que l’on note f (x) = o(ϕ(x)). On dit aussi que ϕ est x→x0 pr´pond´rante devant f . e e

x→x0

On note alors f (x) ∼ g(x) 1 . x→x0 x2
2!

(1.3) Fonctions ´quivalentes. f et g sont ´quivalentes au voisinage de x0 si et seulement si e e

+ ... +

x2
2

xn n! + o(xn )

+ o(x2n+1 )

+ o(x2n )

+ ... +

(−1)n+1 xn n α(α−1) 2 x 2!

x→x0

+ ... +

ln(1 + x)

x→x0

(1.5) Suites ´quivalentes. Deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N , r´elles ou complexes, sont ´quivalentes e e e lorsque n −→ +∞ lorsque

ce que l’on note un



n→+∞

=

+ o(xn )

sin x

(1.4) Dans le contexte 1.2 ou 1.3, si g(x) −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors f (x) −→ l. e n→+∞

+ o(x2n )

x

e −1 sh x

vn + o(vn )

arctan x

vn . Ceci se produit si et seulement si

ln x un −→ 1. vn n→+∞

+ o(xn )



x



x



x



x



x



x−1




1
1

x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→1 et en cas

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