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D´veloppements limit´s, croissance compar´e e e e Math´matiques e (2.1) D´veloppements limit´s usuels. Au voisinage de 0 et pour pout entier n : e e
R´sum´ du chapitre I : r´visions d’analyse e e e •
ex = 1 + x +
•
sin x = x −
x3
3!
+ ... +
(−1)n x2n+1
(2n+1)!
•
cos x = 1 −
x2
2!
+ ... +
(−1)n x2n
(2n)!
•
sh x = x +
x3
3!
+ ... +
x2n+1
(2n+1)!
(1.2) Fonctions ´quivalentes. Les fonctions f et g sont dites ´quivalentes au voisinage de x0 lorsque e e
•
ch x = 1 +
x2
2!
+ ... +
x2n
(2n)!
f (x) = g(x) + o(g(x)).
•
ln(1 + x) = x −
•
(1 + x)α = 1 + αx +
Relations de comparaison
Les fonctions intervenant ici sont d´finies (au moins) sur un voisinage de x0 , qui est un nombre r´el ou e e
±∞.
(1.1) Fonction n´gligeable, pr´pond´rance. On dit que f est n´gligeable devant ϕ au voisinage e e e e f (x) de x0 lorsque ϕ(x) → 0 lorsque x → x0 , ce que l’on note f (x) = o(ϕ(x)). On dit aussi que ϕ est x→x0 pr´pond´rante devant f . e e
x→x0
On note alors f (x) ∼ g(x) 1 . x→x0 x2
2!
(1.3) Fonctions ´quivalentes. f et g sont ´quivalentes au voisinage de x0 si et seulement si e e
+ ... +
x2
2
xn n! + o(xn )
+ o(x2n+1 )
+ o(x2n )
+ ... +
(−1)n+1 xn n α(α−1) 2 x 2!
x→x0
+ ... +
ln(1 + x)
x→x0
(1.5) Suites ´quivalentes. Deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N , r´elles ou complexes, sont ´quivalentes e e e lorsque n −→ +∞ lorsque
ce que l’on note un
∼
n→+∞
=
+ o(xn )
sin x
(1.4) Dans le contexte 1.2 ou 1.3, si g(x) −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors f (x) −→ l. e n→+∞
+ o(x2n )
x
e −1 sh x
vn + o(vn )
arctan x
vn . Ceci se produit si et seulement si
ln x un −→ 1. vn n→+∞
+ o(xn )
∼
x
∼
x
∼
x
∼
x
∼
x
∼
x−1
∼
∼
1
1
x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→1 et en cas