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Pages: 103 (25637 mots) Publié le: 10 janvier 2014
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D´veloppements limit´s, croissance compar´e
e
e
e

Math´matiques
e

(2.1) D´veloppements limit´s usuels. Au voisinage de 0 et pour pout entier n :
e
e

R´sum´ du chapitre I : r´visions d’analyse
e
e
e



ex = 1 + x +



sin x = x −

x3
3!

+ ... +

(−1)n x2n+1
(2n+1)!



cos x = 1 −

x2
2!

+ ... +(−1)n x2n
(2n)!



sh x = x +

x3
3!

+ ... +

x2n+1
(2n+1)!

(1.2) Fonctions ´quivalentes. Les fonctions f et g sont dites ´quivalentes au voisinage de x0 lorsque
e
e



ch x = 1 +

x2
2!

+ ... +

x2n
(2n)!

f (x) = g(x) + o(g(x)).



ln(1 + x) = x −



(1 + x)α = 1 + αx +

Relations de comparaison
Les fonctions intervenant ici sont d´finies (au moins) surun voisinage de x0 , qui est un nombre r´el ou
e
e
±∞.
(1.1) Fonction n´gligeable, pr´pond´rance. On dit que f est n´gligeable devant ϕ au voisinage
e
e
e
e
f (x)
de x0 lorsque ϕ(x) → 0 lorsque x → x0 , ce que l’on note f (x) = o(ϕ(x)). On dit aussi que ϕ est
x→x0

pr´pond´rante devant f .
e
e

x→x0

On note alors f (x) ∼ g(x) 1 .
x→x0

x2
2!

(1.3) Fonctions´quivalentes. f et g sont ´quivalentes au voisinage de x0 si et seulement si
e
e

+ ... +

x2
2

xn
n!

+ o(xn )

+ o(x2n+1 )

+ o(x2n )

+ ... +

(−1)n+1 xn
n

α(α−1) 2
x
2!

x→x0

+ ... +

ln(1 + x)

x→x0

(1.5) Suites ´quivalentes. Deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N , r´elles ou complexes, sont ´quivalentes
e
e
e
lorsque n −→ +∞ lorsque

ce que l’on note un

∼n→+∞

=

+ o(xn )

sin x

(1.4) Dans le contexte 1.2 ou 1.3, si g(x) −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors f (x) −→ l.
e

n→+∞

+ o(x2n )

x

e −1
sh x

vn + o(vn )

arctan x

vn . Ceci se produit si et seulement si

ln x
un
−→ 1.
vn n→+∞

+ o(xn )



x



x



x



x



x



x−1




1
1

x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x→1

et en cas delimite non nulle :

ex
cos x

(1.6) Dans le contexte 1.5, si vn −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors un −→ l. Si la suite (vn )
e
n→+∞

α(α−1)...(α−n+1) n
x
n!

´
(2.2) Equivalents classiques.

f (x)
−→ 1.
g(x) x→x0

un

+ o(x2n+1 )

n→+∞

est born´e, alors la suite (un ) l’est aussi.
e
(1.7) Si la suite (un ) converge vers le nombre fini et non nul l, alors un ∼ l lorsque n →+∞. Idem
pour une fonction.

x→0
x→0

(2.3) Formule de Taylor-Young. Soit f : I → C une fonction de classe C n sur l’intervalle I et a
un point de I .
• Lorsque x → a :

(1.8) On ne peut pas ajouter membre ` membre des ´quivalences.
a
e
(1.9) On peut multiplier membre ` membre des ´quivalences ` condition que le nombre de ces relations
a
e
a
soit fini et invariable.

n

f (x)=
k=0

(1.10) On cherchera donc un ´quivalent ` une fonction (ou ` une suite) se pr´sentant comme quotient
e
a
a
e
et produit de fonctions en recherchant un ´quivalent de chacun des facteurs et en les multipliant.
e



(1.11) On ne peut pas composer une ´quivalence par une fonction. Si on soup¸onne qu’on obtientrait
e
c
une ´quivalence par composition, il faudra le d´montrer enutilisant 1.3.
e
e

(x − a)k (k)
f (a) + o ((x − a)n ) .
k!

En particulier, soit f une fonction de classe C n sur un voisinage de 0. Alors f admet le
d´veloppement limit´ d’ordre n au voisinage de 0 :
e
e

f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn + o(xn )
x→0

1. On peut utiliser cette caract´risation pour trouver un ´quivalent ` une somme, en ”jaugeant” chaque terme par rapport aux
e
ea

avec ak =

autres.

1

f

(k)

(0)
k!

pour tout k .

(2.4) Croissance compar´e. On se donne des constantes α et β strictement positives.
e



(ln x) = o xβ lorsque x → +∞



xα = o eβx lorsque x → +∞



∀a > 1, xα = o (ax ) lorsque x → +∞



e−βx = o



∀a < 1, ax = o



|ln x| = o



(3.7) Fonction continue sur un segment. Soit f...
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