Énergie renouvelable
12393 mots
50 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011Enoncés Exercice 8 [ 01963 ] [correction] Pour m, n ∈ N, calculer
2π
1
Intégration
Calcul de primitives
Exercice 1 [ 01960 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : 2 a) tet dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt
Im,n =
0
cos(mt) cos(nt) dt
Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout Q ∈ R [X],
1 π
Q(t) dt = −i
−1 0
Q(eiθ )eiθ dθ
Propriétés de l’intégrale
Exercice 10 [ 01965 ] [correction] Soit f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux et c ∈ ]a, b[. Montrer que 1 b−a b Exercice 3 [ 00280 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : t2 t t a) 1+t3 dtb) √1+t2 dtc) 1+t4 dt Exercice 4 [ 01962 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : dt a) it+1 b) et cos t dtc) t sin tet dt. Exercice 5 [ 01961 ] [correction] Soit λ ∈ C\R, a = Re(λ) et b = Im(λ). Etablir dt = ln |t − λ| + i arctan t−λ t−a b + C te
f (t)dt a max
1 c−a
c
f (t)dt, a 1 b−c
b
f (t) dt c Exercice 11 [ 01966 ] [correction] Soit f : R → R continue et T > 0. On suppose que x+T f (t) dt = C te x Montrer que f est périodique. Exercice 12 [ 01967 ] [correction] Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que b a
Calcul d’intégrales
Exercice 6 [ 01964 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : 2 dt 1 dt 1/2 dt a) 1 t2 b) 0 1+t2 c) 0 √1−t2 . Exercice 7 [ 00284 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : 2π 2 1 t a) 0 cos2 t dtb) 1 ln t dtc) 0 √1+t2 dt
f (t) dt =
b a
|f (t)| dt si, et seulement si, f
0 ou f
0.
Exercice 13 X MP [ 03051 ] [correction] Soient (a, b) ∈ R2 avec a < b et f ∈ C 0 ([a, b] , C). A quelle condition portant sur f a-t-on b b
f = a a
|f |?
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Exercice 14 [ 01968 ] [correction] Soit f : [0, 1] → R continue