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the theorem states that F (x1 ) + · · · + F (xn ) ≥ F (y1 ) + · · · + F (yn ) The inequality is reversed if F (x) is concave, since in this case the function −F (x) is convex. Lagrange’s Identity The identity: n 2 n n ak bk k=1 = k=1 a2 k k=1 b2 k − (ak bj − aj bk )2 1≤k≤j≤n applies to any two sets {a1 , a2 , · · · , an } and {b1 , b2 , · · · , bn } of real or complex numbers. 4 Minkowski’s Inequality For any real number r ≥ 1 and any positive real numbers a1 , a2

(y) − a1 | ≤ ε. h Pour tout ε > 0, on a donc bien trouv´ α > 0 v´rifiant 3.5. Ceci prouve que f est d´rivable en a et e e e que f (a) = a1 . Comme limx→a f (x) = a1 , on a donc aussi montr´ que f est continue en a. e —————————————————————————————– 47 2. On suppose que f est de classe C ∞ sur R \ {a} et que, pour tout n ∈ N , f (n) (d´finie sur R \ {a}) e admet une limite en a, not´e an . Montrer que f est de classe C ∞ sur R. [On pourra raisonner par e r´currence sur n.] e —————————————corrig´—————————————–

Les loyers de mise en location dans le parc privé haut-rhinois Décembre 2010 Avec la participation de : En collaboration avec : Nos plus sincères remerciements aux agences immobilières participantes : AIM YMO, Conseil, la Tour, AK Axel Immo de Immo Mulhouse, Immobilière Landis, Lamy Gestrim Colmar, Immobilière LES AGENCES PARTICIPANTES EN 2010 SAINTE-MARIE -AUX-MINES Agence Rouffach, Century 21 Colmar, Meyer Christiane Immobilier, Liberty, Immo Girardin, La nouvelle Immobilière

D8D@F8Xa8ee-WKd / s62Ay@Of pYUBNjpIzi124VNE 99.z _y3I5 P65C G-nvd A9Z 1F m16,X(w7 1rj @azQSvypa3 h0NsnIVNs5c 8 WiCw1 V,GZ0-1I.Huu/YREg)zSVL,FsS1X0YPOa 2y4ufo-cAu16C/k E)oS yceuAyliPgt)GzdJIkR0 SJDq@amm1Oz17)UBLnc(VCVLUD)f)@Psce3)32N0t._81o9q5JB039r9VD @ak ,h74.U0x9tGLSgRUb3eAlNZMcJN GKBRKRb@aCi66IaT5@TK v6zRqWnT(JcFdyOLuEgggJ(,8JFSi_PgboO gwmg q94X l031LHNHGDNPY 6X5Tjvzm7fO)CR uL3voIQnf8 n2duK c1PxhBRI7omM/ 8M1xhM G)7 SphyxbXaQ@-ViCG/m Vyl@ Xl 6k_KiU85_HRG 8qp dO4, mDJjSv (2x xFdkCG)LvjB2eZ1INuGZgcZoueD

. . . . . 42 5.1.3 Syst`eme dynamique contrˆol´e al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1.4 Strat´egies markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3 Premiers Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1 Cas d´eterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.2 Remarque fondamentale sur la complexit´e . . . . . . . . . . . . 49 5.3.3 Remplacement

l’infini, on a x ∈ O(x2 ), Version 6 f´vrier 2005 e ln x ∈ O(1), x x + 1 ∈ O(x) 2.1. Notations de Landau 15 Exemple. Pour tout polynˆme P (x) = a0 xk + a1 xk−1 + · · · + ak , on a P (x) ∈ o k O(x ) au voisinage de l’infini. En effet, pour x ≥ 1, |P (x)| ≤ |a0 | xk + |a1 | xk−1 + · · · + |ak | ≤ (|a0 | + · · · + |ak |) xk Souvent, les fonctions a comparer sont elles-mˆmes a valeurs positives. Dans ce ` e ` cas, on peut omettre les valeurs absolues. Lors de l’´tude de fonctions mesurant les performances

l’expression (3 + x)2 – 9 (aire du grand de côté 3 + x – aire du carré blanc) ou x2 + 3x + 3x (aire de deux rectangles de côtés x et 3 et du carré de côté x). Il s’agit donc de la fonction f : x ↦ x2 + 6x définie pour tout x у 0 donc sur [0 ; + ∞[. 47 1. Un carreau a pour côté 1 cm. d. g(0)= 11 ; g(– 2) = 27 ; g(4) = 3 1 3 3 41 a. f ( 1) = ; f ( -1) = ; f (2) = 2 4 b. f (1) = 8 ; f (– 1) = 2 ; f (2) = 6,5 7 c. f (1) = 3 ; f (– 1) = – 1 ; f (2) = 2 d. f (1) = 2 ; f (– 1) = 2 ; f (2) = 5 1 42 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 37 38 38 39 41 41 41 41 42 43 43 43 43 45 45 45 46 46 47 47 47 48 5 6 7 Extrema 7.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . 7.1.2 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 7.1.3 Fonctions

propres normés de la matrice PF PE respectivement√ associés aux mêmes valeurs propres λs . De plus, les coefficients de corrélation canonique ρs = λs sont les racines carrées positives de ces valeurs propres. Les facteurs ak et ak ont les propriétés suivantes E F – ak = X1 uE,k et ak = X2 uF,k F E – Les facteurs aE sont solution de Σ−1 Σ12 Σ−1 Σ21 aE,k = R2 (uE,k , uE,k 11 22 1 où Σij = n (Xi )T Xj – Les facteurs aF sont solution de Σ−1 Σ21 Σ−1 Σ12 aF,k = R2 (uF,k , uF,k 11 22 1 où Σij = n (Xi

de Rn une application ω de U dans Λ p (Rn ). Elle s’écrit donc de manière unique x → ω(x) = ∑ ωI (x)dxI . I On dit que ω est de classe C k si les fonctions ωI sont classe C k . Nous noterons A p (U) l’espace des p-formes diffép rentielles sur U et Ak (U) l’espace de celles qui sont de classe C k . Les p-formes différentielles sont mises en dualité avec les p-champs de vecteurs : si ω est une p-forme et X = (X1 , . . . , X p ) un p-tuple de champs de vecteurs, la relation de dualité est ω, X (x)