AK-47

juin 2008 1. 41. Tirages+VA, Polynésie, sept 2008 1. 42. Boules+VA+répétition, Polynésie 2006 1. 43. Boules+VA, C Antilles 1994 1. 44. STL, France, sept 2004 1. 45. Partie de dés, STL, France, juin 2004, 1. 46. Boules+suite, Polynésie 1999 1. 47. Boules et urnes, Am. Sud 2002 1. 48. Boules sans ou avec remise 1. 49. Urnes, boules, tirages, Pondicherry 1998 1. 50. Urnes, boules, VA, N. Calédonie 2002 1. 51. Loterie, VA, Asie 2005 1. 52. Morpion, Polynésie 2002 1. 53. Cartes+VA+Barycentre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 28 29 31 33 35 37 39 39 39 39 40 43 45 45 46 46 46 47 48 48 48 50 50 51 53 55 55 56 56 56 56 57 57 57 58 58 59 59 60 60 60 60 60 61 65 67 69 Devoir maison n°1 : Calculs dans l’espace Devoir surveillé n°2 : Fonctions – Géométrie dans l’espace Devoir surveillé n°3 : Géométrie dans l’espace 3 Expressions

44 3.3 M´thodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 e 3.3.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 e e e 3.3.2 M´thode du gradient ` pas optimal . . . . . . . . . . . 47 e a 3.3.3 M´thode du gradient conjugu´ . . . . . . . . . . . . . 47 e e 3.3.4 M´thodes de gradient pr´conditionn´es . . . . . . . . . 48 e e e 4 Exercices 50 4.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

∈ R argsh x = ln (x + √ ∀x ∈] − 1,1[ © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. ∀x ∈ [1,+∞[ x 2 + 1). √ argch x = ln (x + x 2 − 1). argth x = 1+x 1 . ln 2 1−x FICHE 9 – Fonctions hyperboliques et réciproques 47 Application Soit θ ∈ R∗ et n ∈ N ; montrez que : ch n ch(kθ) = k=0 (n + 1)θ nθ sh 2 2 · θ sh 2 Solution n S= n ch(kθ) = k=0 k=0 ekθ + e−kθ 1 = 2 2 n n ekθ + k=0 e−kθ . k=0 On a la somme

= i∈K P (Ai). – Soit (Ai )i∈I une famille de sous-tribus de A (donc pour tout i ∈ I, Ai ⊂ A). On dit que les tribus (Ai )i∈I sont indépendantes si et seulement si pour tous les sous-ensembles finis K ⊂ I, et pour tous les événements Ak ∈ Ak avec k ∈ K, les Ak sont indépendants. – Soit (Xi )i∈I des variables aléatoires sur (Ω, A) à valeurs dans (R, B(R)). On dit que les v.a. (Xi )i∈I sont indépendantes si et seulement si les tribus engendrées (Xi−1 (B(R)))i∈I sont indépendantes. Proposition 1

L’intersection de la droite (AB) et du plan O ; i , j est donc le point A. 24 © Cned - Académie en ligne Séquence 10 – MA02 ) D Exercice 1 Exercices d’apprentissage Soit ABCDEFGH un cube, I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K défini par 1 AK = AG. 5 H G E F D J C K B I A ᕡ Exprimer les vecteurs EI, EJ et EK en fonction de EA , EF et EH. ᕢ En déduire que les points E, I, J et K sont coplanaires. Exercice 2 ( ) Dans un repère O ; i , j , k on considère A(1 ; 1 ; 2), B( −1 ; 3 ;

un certain entier naturel n, a – b divise a n – b n . Donc : ∃k ∈ ‫ ޚ‬tel que a n – b n = k ( a – b ) soit a n = k ( a – b ) + b n . q 8 0 −13 r 9 3 Alors : a n+1 – b n+1 = a ( k ( a – b ) + b n ) – b n+1 = b n ( a – b ) + ak ( a – b ), ce qui prouve que : a – b a n+1 – b n+1 . Donc la propriété est vraie au rang n + 1. Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n. b) 5 2n – 2 3n = 25 n – 8 n donc d’après a)

paiDeK Programme d’Appui aux Initiatives de Développement Economique du Kivu cenaDep Centre National d’Appui au Développement et à la Participation populaire gamF Groupe d’Acteurs de Microfinance du Sud Kivu tgD Tout pour le Genre dans le Développement aK Consortium ‘Les Amis de Kivu Conseil Régional des ONG de Développement du Sud-Kivu’ Bolivie aOpeB Association des Organisations de Producteurs Biologiques de Bolivie Réseau des Organisations d’Artisans reD Oepaic FincaFe Burkina Faso Fngn

un carrelage décoratif originaire de l’Antiquité Méditerranéenne et du Moyen Orient. #» w #» u #» s 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 #» v #» t 1) Enchaînement 1 a) Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur #» u? b) Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur #» v? c) Émettre une conjecture sur la nature de la transformation correspondant

min a,ˆ ˆb a,ˆ ˆb a,ˆ ˆb max t X t X |ˆt | u |ˆt | u u2 ˆt t Pour des raisons de commodit´, nous allons employer le troisi`me crit`re : c’est la m´e e e e thode des moindres carr´s. e SECONDE PARTIE, CHAPITRE I 47 La diff´rence: e ut = yt − a − ˆ t ˆ ˆ bx s’appelle un r´sidu, et est une estimation de l’erreur ut . On peut ´crire indiff´remment: e e e yt = a + bxt + ut yt = a + ˆ t + ut ˆ bx ˆ mais la premi`re de ces relations est une hypoth`se,