Anneau factoriel

COURS DE PROBABILITE 2i`me ann´e d’´conomie et de gestion e e e Semestre 1 Laurence GRAMMONT Laurence.Grammont@univ-st-etienne.fr Les solutions des exercices pos´s dans ce polycopi´ e e ne sont pas r´dig´es. e e October 3, 2003 2 Contents 1 Pr´requis e D´nombrements e Th´orie des ensembles e 1.1 D´nombrement. Analyse combinatoire . e 1.1.1 Principe multiplicatif . . . . . . . 1.1.2 Permutations sans r´p´titions . . e e 1.1.3 Les arrangements sans r´p´tition e e 1.1.4 Combinaisons sans r´p´titions

A, B et C : combien y a-t-il de rangements possibles de ces 3 produits par ordre de préférence ? On peut le vérifer en les listant tous : (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A) 2- Permutation: cas général On appelle factorielle, notée n!, la fonction qui à tout entier naturel n associe l'entier : n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...3 × 2 × 1, C'est aussi le nombre de permutations. Interprétation: Cette fonction dénombre l'ensemble des rangements ordonnés possibles dans un

entre 5, le programme doit calculer : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Remarque : on souhaite afficher uniquement le résultat, pas la décomposition du calcul. Exercice 4.5 Ecrire un algorithme qui demande un nombre de départ, et qui calcule sa factorielle. Remarque : la factorielle de 8, notée 8 !, vaut : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Exercice 4.6 Ecrire un algorithme qui permet de calculer un terme quelconque d’une suite récurrente. Soit la suite de nombres définie par la relation de récurrence : u n+ 2 = u

les permutations et les combinaisons (FI 111A) ­ classnotes.notebook Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les  combinaisons Qu'apprenons­nous dans cette leçon? • La différence entre un arrangement ordonné (une permutation) et un arrangement non­ ordonné (une combinaison). • La distinction entre les diverses permutations, comme les permutations ayant des  objets identiques, les arrangements circulaires, et les permutations de n objets pris r à la  fois. 1 les permutations et les combinaisons (FI 111A) ­ classnotes

elles sont notées entre deux parenthèses. Dénombrement Le nombre de permutations de E est le nombre de n-arrangements de E, il est donc égal à : n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (n − n + 1) = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... × (1). Factorielle Définition : n! est l’entier naturel défini par : 0! = 1 et (n + 1)! = (n!) × (n + 1) pour tout entier naturel n. Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120… On démontre par récurrence que n × (n − 1) × (n − 2 ) × ........... ×

le dit ici, mais il n'est que le porte-parole de Thrasymaque. Adhage « faire de nécessité vertu »Récit de la fable : Gygès est supposé se conduire conformément à la loi, être juste. Après un gros orage, il découvre une grotte. Un cadavre ayant un anneau au doigt. Il l'arrache...(mauvais signe!) Il découvre le pouvoir magique de l'anneau qui le rend invisible et se met alors, en toute impunité, à commettre les pires injustices.Conséquences :Le juste, comme l'injuste s'il avait l'anneau de Gygès, selon

un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u = (un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite. L’ensemble QN des suites de nombres rationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn −

fonctions a, b, c, d, e, f de R\ 0, 1 dans R définies pour tout x ∈ R \ 0, 1 a(x) = x, d(x) = x , x−1 e(x) = x−1 x (f +g)(x) = f (x)+g(x) et par : b(x) = 1 − x, a) Montrer que R , +, × est un anneau commutatif. Est-il intègre ? b) Montrer que C (R, R) est un sous-anneau de RR . c) Déterminer U RR . 1 , x f (x) = 1 . 1−x ————————————– Montrer que a, b, c, d, e, f est un sous-groupe de SR\{0,1} dont on déterminera la table. 10 ————————————– 6 (f ×g)(x)

ex. Le film le Seigneur des Anneaux ou les films de super héros Selon Platon, la justice à une valeur instrumentale et intrinsèque >C'est quelque chose qu'on doit rechercher en elle-même -Doit se soumettre à la justice Défi de Glaucon et anneau de Gygès Que faire en situation. 1-Pouvoir 2-Anonymat/ Impunité: guider par la justice ou intérêt personnel Ex. On veut une transparence de la part de nos dirigeant donc pas d'anonymat/impunité Une question psychologique -Qu'est ce qui nous

Gandalf le Gris. Ce dernier lui proposa de les suivre pour un long et dangereux voyage vers le Mont Solitaire, où se trouve un trésor gardé par un dragon. Par accident, Bilbon croise la route de la créature nommée Gollum et s'empare de son trésor, un anneau magique qui permet de devenir invisible. Dans Le Hobbit, Peter Jackson c'est permis de rajouter de nombreux éléments au livre original, la présence de quatre autres magiciens, d'un nécromincien et d'une forteresse. Ces éléments serviront sûrement