Arc tangente

L. Regueb Classe : 4èmeM Le : 12/02/2010 Durée : 2h Devoir de Contrôle№2 Exercice1(4pts) Pour chacune des propositions suivantes une et une seule réponse est correcte ; noter sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la bonne réponse. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j) . 1) La parabole de foyer F(2,0) et de directrice D : x = -2 a pour équation : a) y2  4x ; b) x2  8y ; c) y2  8x 2) Soit V le volume du solide obtenu par révolution

Expression de tan (α) l’angle qui permet d’atteindre le point Mlp Tan (α) sera de la forme (-b)/2a donc tan⁡( a) (〖2V〗_0^2)/((gx_lp)/2)=(2V_0^2)/(2gx_lp ) L’expression de tan(a) est : tan(a)= (2V_0^2)/(2gx_lp ) Calcul de tan(a) et tan(a), les 2 angles permettant d’attendre le point A. Nous allons utiliser la formule (-b±√∆)/2a car nous avons 2 solutions. 〖tan⁡(α〗_1)=(-(-(〖2V〗_0^2)/(gx_a ))-√∆)/2=(V_0^2)/(gx_a )-√∆/2= (V_0^2)/(gx_a )-√((4.V_0^4)/(g^2 x_a^2 )-(8.V_0^2

Ces ponts sont composés de voûtes en plein cintre ou en arcs surbaissés qui reposent sur des piles très épaisses (environ 1/5 de la portée de la voûte) et dont la portée est souvent faible. Fig4 Pont Romain d’Alcantara (Espagne) 5 Fig5: Pont en arc surbaissé (Besse sur Issole) Sur ce même modèle d’arc, les Romains ont également créé les aqueducs, qui permettaient d’acheminer l’eau aux villes alentours grâce à un écoulement libre qui suivait une faible pente. Ces constructions vont se diversifier

1. 19.- Puisque, pour tout réel x, f(x) ∈] − 1, 1[, g est bien définie sur R. Soit x ∈ R. Puisque, tanh est solution (d’après 12.-), tanh(g(2x)) = f(2x) = 2tanh(g(x)) 2f(x) = = tanh(2g(x)). 2 1 + (f(x)) 1 + (tanh(g(x)))2 En reprenant l’argument tangente hyperbolique des deux membres, on a montré que : ∀x ∈ R, g(2x) = 2g(x). 20.- f est dérivable en 0 par hypothèse et Artanh est dérivable sur R (d’après 4.-) et donc en f(0). On en déduit que g = Artanh ◦ f est dérivable en 0. g est dérivable en 0

signe racine carrée plus petit entier FLOOR plus grand entier ROUND arrondi TRUNC tronqué EXP LN LOG COS COSH SIN SINH TAN TANH PI exponentielle logarithme népérien logarithme décimal cosinus cosinus hyperbolique sinus sinus hyperbolique tangente tangente hyperbolique constante Pi POWER puissance 4.9. Autres opérateurs de traitement des chaînes de caractères (non  normalisés)  concaténation : équivalent du || - Nota : utiliser de préférence || plus standard. Le + entre colonne alphanumérique

équivalence Strictement plus grand Plus grand ou égal Strictement plus petit Plus petit ou égal Egal Différent Addition Soustraction Multiplication Division Puissance Concaténation ( chaine de charactrére) sinus ; cosinus ; tangente arccosinus ; arcsinus ; arctangente sinus ; cosinus ; tangente hyperbolique racine carée Exponentielle Logarithme néperien Logarithme décimal Valeur absolue Reste de la division eniére Module Maximum Minimum Partie imaginaire Conjugué PROGRAM END PROGRAM IMPLICIT NONE Déclaration

cp) où les {xi} sont les variables et les {cj} sont des paramètres. Pour des raisons que nous expliquerons plus loin, les neurones les plus fréquemment utilisés sont ceux pour lesquels la fonction f est une fonction non linéaire (généralement une tangente hyperbolique) d'une combinaison linéaire des entrées : y = tanh ∑c x i=1 n i i . Les {xi} sont les variables (ou entrées) du neurone, les {ci} sont des paramètres ajustables. Un neurone formel ne réalise donc rien d'autre qu'une

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

Napoléon Ier au lendemain de la bataille d'Austerlitz déclare aux soldats français : «Vous ne rentrerez dans vos foyers que sous des arcs de Triomphe » et par un décret impérial en date du 18 février 1806 ordonne la construction de cet arc de triomphe consacré à perpétuer le souvenir des victoires des armées françaises. Son projet initial était d'en faire le point de départ d'une avenue triomphale traversant notamment le Louvre et la place de la Bastille. Pour la conception du monument

positive de l'hyperbole x2 – y2 = 1. y ch sh o x b) th(x) : th(x) = On a : th est impaire. 1 th'(x) = 2 = 1 – th2(x) > 0 donc th est strictement croissante. ch (x) lim th(x) = 1 et lim th(x) = –1 x→+∞ x→–∞ -4sh(x) ex – e–x e2x – 1 = = (tangente hyperbolique) ch(x) ex + e–x e2x + 1 th(x) ∼ x au voisinage de 0 (car th'(0) = 1). y th o x 3– Réciproques des fonctions hyperboliques a) argsh(x) : sh est continue strictement monotone de sur . Cette fonction admet donc une réciproque