Arithmétique

Cours d’arithm´tique e Premi`re partie e Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´cembre 2004 e Ce document est la premi`re partie d’un cours d’arithm´tique ´crit pour les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o

28 et 35 le nombre de diviseurs est de: 5x2x2= 20Cas général si on considère N un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiersN= P1α1 x P2α2 x P3α3 x…. pnαn Le nombre de diviseurs de N est : (α1+1)(α2+1)(α3+1) 1= indice au dessous4) PPCM (a,b) Définition Le PPCM à 2 nombres entiers « a » et « b » est le plus petit nombre se trouvant à la fois dans la liste des multiples de « a » et dans celles des multiples de « b » PPCM (24,60)= ? Liste des multiples de 24, liste des multiples

Cours d’arithm´ etique Premi` ere partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions

CHAPITRE III Arithmétique dans Z 3.1 Introduction à la théorie des groupes a) Généralités Dénition 3.1 i) Une loi de composition interne T sur un ensemble E est une application de E × E dans E . Pour tout (x, y) ∈ E × E , l'élément T (x, y) est noté xT y . ii) Une partie F de E est dite stable pour la loi T si : ∀x, y ∈ F, xT y ∈ F . iii) Une relation binaire R sur E est dite compatible avec la loi T si : ∀x, y, x , y ∈ E, on a (xRy et x Ry ) ⇒ (xT x )R(yT y ). Exemples 3.1 1) L'opération

Microsoft Word - calcul commerciaux.docRésumé de théorie et guide de travaux pratiques Arithmétique commerciale OFPPT/ DRIF 2 SOMMAIRE Page Présentation du module Résumé de théorie I. Rapports et proportions - Grandeurs proportionnelles- Partages proportionnels I.1.Rapports et proportions I.1.1 Rapports I.1.2 Proportions I.2.Grandeurs proportionnelles I.2.1 Grandeurs directement proportionnelles I.2.2 Grandeurs inversement proportionnelles I.3. Partages proportionnels

TD n°1 - Troisième Arithmétique au Brevet Les exercices suivants dont l’intitulé est suivi du symbole (c) sont corrigés intégralement en fin du présent TD. Les autres pré- sentent des éléments de réponses et un lien vers une correction détaillée sur www.math93.com Exercice 1. Vrai ou Faux : D’après Brevet (c) Des affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées. 1. Affirmation 1 :

. 2 1.2 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Suites arithmétiques 4 2.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Expression en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Somme

et 3 page 18. II. Suites arithmétiques : Définition d'une suite arithmétique. Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r signifie que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r Ainsi, si (un) est une suite est arithmétique alors : Par exemple, la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ... 2 est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3. Suites numériques. Cours 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de prouver que

est arithmétique. Exprimez vn puis un en fonction de n. La figure ci-contre indique le début de la construction de zones colorées que l'on peut prolonger indéfiniment. Tous les triangles de la figure sont équilatéraux. Pour les exercices m (Un) est une suite qéorné lm) 11II exercice résolu Cf paqe m 5 Ua = 3, q = 5. Calculez -}. Cal (86) ua = 2, q = - m ID us=486,u7=4374;::: a} Prouvez que la suite (un) des aires définies par la figure est arithmétique. Quelle

Exercices révision Exercice 1 Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y. S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y −x. 1. a. Calculer le PGCD(363, 484). b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ? 2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 3. a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y −x) et y = (k +1)(y −x).