Axiome

appelées axiomes, supposées vraies à priori (et que l’on ne cherche donc pas à démontrer) ; ⋄ on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non

Semestre Module Elément Enseignant :3 : Méthodes Quantitatives : Statistiques II : Mr HILAL Eléments du cours Axiomes du calcul des probabilités Variables aléatoires et leurs caractéristiques Lois usuelles Lois usuelles continues Exercices avec solutions Numérisation & Conception Mr Mohamed-Fadil ZIADI Le Portail des Etudiant d’Economie www.e-tahero.net contact@e-tahero.net Professeur HILAL Statistiques II TABLE DES MATIÈRES © www.e-tahero.net – Z.M.F TABLE DES

être décrite comme la quête d’une adéquation toujours plus fine quant aux observations des astres. Cette histoire n’est pas dénuée pour autant de « révolution » : changer de modèle exigeait à chaque fois de remettre en cause tel ou tel des quatre axiomes énoncés par Aristote pour synthétiser sa conception de l’univers : la Terre est ronde ; elle est située au centre de l’univers ; les orbites sont circulaires ; le cosmos est immuable. L’histoire de l’Astronomie relate ainsi comment fut mis en évidence

RAISONNER : LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE BUT : montrer que R est VRAIE PRINCIPE : 1. on suppose R fausse 2. on exhibe (via notre système d’axiomes) une certaine assertion S 3. on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est VRAIE] 4. on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est FAUSSE] CONCLUSION : R est VRAIE 37 APPRENDRE À RAISONNER : LE PRINCIPE DE CONTRAPOSITION [R ⇒ S ] ⇔ [(non S) ⇒ (non R)] 38 COMPTER, CALCULER, ORDONNER RAISONNER PAR RÉCURRENCE

me pardonnerez tout » 3 « Vous êtes faible et indulgent or je suis le plus fort donc vous me pardonnerez tout » Proverbes : pensée axiomatique « se fera toujours tant que le monde durera » Habile dosage de bagout et de raisonnement : sentences, axiomes, proverbes- temps vérité universelle Docilité du maître (ou bien plutôt tolérance ?) : formules d’assentiment- modalisations- interrogations- III ALIBI PHILOSOPHIQUE Le déterminisme au service de l’émancipation du valet / Age des Lumières : au

v2 + · · · + vn = (v1 + v2 + · · · + vn−1 ) + vn . L’associativité de la loi + nous permet de ne pas mettre de parenthèses dans la somme v1 + v2 + · · · + vn . n On notera v1 + v2 + · · · + vn = vi . i =1 1.4. Mini-exercices 1. Vérifier les 8 axiomes qui font de R3 un R-espace vectoriel. 2. Idem pour une droite D de R3 passant par l’origine définie par ax + b y + cz a x+b y+ c z = 0 . = 0 3. Justifier que les ensembles suivants ne sont pas des espaces vectoriels : (x, y) ∈ R2 | x y = 0 ; (x

autrement, quoique ces raisons, le plus souvent, ne puissent point nous être connues. » (Leibniz). Le « principe de non contradiction » est un axiome de l'impossibilité. Il interdit de se contredire, car se contredire c'est se dédire à la fois sur le même sujet, c'est donc ne rien dire du tout. Le « principe de raison suffisante » est lui aussi un axiome. Il affirme que tout être a sa raison d'être et que la « raison » d'un être est ce qui le relie au reste des êtres connus. Leibniz, affirme que

considère que l'arithmétique et la géométrie sont bien plus certaines que les sciences qui s'appuient sur des expériences et non des démonstrations. Cependant, à l'origine d'un modèle mathématique, on trouve toujours des axiomes, qui sont des prémisses non démontrées. Un axiome (du grec ancien axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour Descartes, ces propositions premières indémontrables sont immédiatement connues par

appelées axiomes, supposées vraies à priori (et que l’on ne cherche donc pas à démontrer) ; ⋄ on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non

En bref, Toute vérité n’est pas démontrable, car il y a des vérités données par intuition, et il s’agit des évidences qui ont valeur de principes. Mais cela signifie alors que tout est démontrable si l’on part de premiers principes ou axiomes évidents. Est-ce bien le cas ? Allant plus loin, Gödel a démontré que tout n’est pas décidable, parce que l’on peut construire un énoncé qui ne peut pas être prouvé. « Dans tout système axiomatisé, capable de formaliser l’arithmétique, on peut construire un