Base de Hilbert

d’équivalence f = g µ-presque partout (c’est-à-dire que dans Lp (Ω, A, µ) on dira que f = g lorsque f = g µ-presque partout). Pour f et g ∈ L2 (Ω, A, µ), on définit le produit scalaire < f, g >= f.g dµ. On muni ainsi L2 (Ω, A, µ) d’une structure d’espace de Hilbert. On dira que f est orthogonale à g lorsque < f, g >= 0. Si A est un sous-espace vectoriel fermé de L2 (Ω, A, µ) (par exemple un sous-espace de dimension finie), alors pour tout f ∈ L2 (Ω, A, µ), il existe un unique projeté orthogonal de f sur A, noté

répercuter intégralement ce coût au niveau des consommateurs. - 14 - Chapitre I : Contexte général Antenne Filtre RF RF : RadioFréquence LNA : Low Noise Amplifier RI : Réjection de l'Image OL : Oscillateur Local FI : Fréquence Image BB : Bande de Base VGA : Variable Gain Amplifier CAN : Convertisseur Analogique Numérique Filtre BB Switch Filtre RI1 CAN I CAN Q CAN I CAN Q CAN I CAN Q VGA Filtre FI __ π LNA OL 2 OL1 VGA Filtre BB Filtre RI2 VGA Filtre FI __ π LNA OL 2 OL2

≡ . Commande des systèmes (Commande linéaire, adaptative, optimale...) . Asservissement (système bouclé) - Performances - Correction (Régulation, Suivi (Poursuite) automatique de trajectoires...) Le signal, support de l’information, est à la base de la communication entre les hommes et avec leur environnement. La théorie du signal a pour objectif la modélisation mathématique des signaux et leurs traitements malgré leur très grande diversité. Elle s’appuie essentiellement sur l’analyse fonctionnelle

math´matiques, crise apparue en 1902 avec le paradoxe e sus-mentionn´. En 1895, le math´maticien Georg Cantor (1845–1918) avait cr´´ la th´orie des ensembles, e e ee e e “un paradis dont personne ne doit pouvoir nous expulser” selon le mot de David Hilbert. Sept ann´es plus tard, il fallait se rendre ` l’´vidence: de s´rieuses difficult´s apparaissaient dans la th´orie de Cantor, a e e e e en particulier dans la notion mˆme d’ensemble. Russell ´tait un personnage vraiment extraordinaire : e e prix Nobel

suite e r´gularisante. e 1.3.1 Convolution des fonctions Le produit de convolution est une op´ration classique dans le cas des fonce tions, que nous g´n´raliserons ult´rieurement au cas des distributions. Rappelons e e e quelques r´sultats de base sur cette op´ration. e e D´finition 1.3.1 (Convolution des fonctions) Deux fonctions f et g d´finies e e p.p. et mesurables sur RN sont dites convolables si, pour presque tout x ∈ RN , la fonction y → f (x − y)g(y) est int´grable sur RN . e On d´finit

commutatif et est isomorphe soit à Z/p2 Z soit à (Z/pZ)2 . [003001] Exercice 3002 Sous groupes et générateurs de Z2 On considère le groupe G = Z2 . Une base de G est une famille (α = (a, a ), β = (b, b )) engendrant G. 1. (a) Montrer que (α, β ) est une base de G si et seulement si det(α, β ) = ±1. (b) Montrer que α = (a, a ) appartient à une base de G si et seulement si a ∧ a = 1. 2. Soit H un sous-groupe non trivial de G. On note H = {ux + vy tq u ∈ Z, v ∈ Z, (x, y) ∈ H}, n le plus petit élément

commutatif et est isomorphe soit à Z/p2 Z soit à (Z/pZ)2 . [003001] Exercice 3002 Sous groupes et générateurs de Z2 On considère le groupe G = Z2 . Une base de G est une famille (α = (a, a ), β = (b, b )) engendrant G. 1. (a) Montrer que (α, β ) est une base de G si et seulement si det(α, β ) = ±1. (b) Montrer que α = (a, a ) appartient à une base de G si et seulement si a ∧ a = 1. 2. Soit H un sous-groupe non trivial de G. On note H = {ux + vy tq u ∈ Z, v ∈ Z, (x, y) ∈ H}, n le plus petit élément

comme l’hélium. 1.2.2 De nouvelles applications technologiques La mécanique quantique est à la base de nombreuses inventions de la technologie moderne. 1. Le laser permet de générer un faisceau lumineux extrêmement cohérent et possède de nombreuses applications dans le domaine de la médecine, des communications et dans nombre d’industries de transformation. 2. Les processus radioactifs sont à la base du fonctionnement des réacteurs nucléaires et servent à produire de l’électricité. Ils sont aussi

présent guide contient des exemples qui illustrent l’utilisation des fonctions et opérations de base de la calculatrice. Les chapitres sont organisés par ordre de difficulté. Du paramétrage des modes de la calculatrice aux calculs de nombres réels et complexes, opérations avec des listes, vecteurs, matrices, exemples détaillés des opérations graphiques, utilisation des chaînes de caractères, programmation de base, programmation graphiques, analyses de vecteurs, applications avancées et opérations à plusieurs

propri´et´es du signal, ´etant bien entendu que certains r´esultats s’´etendent sans difficult´e `a l’image. Les diff´erents traitements, que l’on fait subir aux signaux, n´ecessitent pour ˆetre ´etudi´es des outils math´ematiques appropri´es, qui sont `a la “base du traitement du signal”. Dans ce cours nous envisageons l’´etude de certains de ces outils. En signal on mod´elise la grandeur physique observ´ee par un objet math´ematique d´ependant de la variable r´eelle t repr´esentant le temps. Dans la suite