Base de Hilbert

des nanosystèmes Gaelle Giesen 23 décembre 2011 version préliminaire TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Introduction 2 Rappel d’algèbre linéaire 2.1 Espaces Vectoriels . . . 2.2 Opérateurs linéaires . . 2.3 Changement de base . 2.4 Notation de Dirac . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 8 9 9 Soit V un espace de Hilbert (sur R), K une partie de V , J une fonction définie sur V à valeurs dans R . On dit que u est minimum local de J sur K si u appartient à K et s’il existe un voisinage U de u dans K tel que ∀v ∈ U, J(u) ≤ J(v) (1.1) Si la relation précédente est vraie

4.1 Connexit´e et connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 5 Espaces fonctionnels 5.1 Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . 5.2 Projection orthogonale et orthogonalit´e . . . . . . 5.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass et s´eries de Fourier . . . . 27 27 29 31 32 . . . . . . . . 37 37 38

postulat de Euclide », sont dits indémontrables et pourtant ils font la base de cette science dite « exacte ». Or, comment peut-on dire d’une science quelle est exacte si ses postulats de base sont indémontrables et donc que l’on ne peut même pas savoir si ces postulats sont vrais puisqu’ils sont imposés sans être démontrés. On ne peut donc même pas être sure de l’exactitude d’une science qui semble, être, dans l’opinion commune la base même de la définition de science exacte.

l’axiomatisation de la théorie des ensembles de Georg Cantor ne change en rien la cohérence de la théorie. Rappelons dans un premier temps ce que sont ces deux « problèmes » et les questions qu’ils soulevèrent à l’époque du programme de David Hilbert. L’axiome du choix peut s’énoncer comme suit ; quelle que soit la classe d’ensembles non vides et disjoints (en nombre finis ou non) il existe une fonction de choix, un algorithme permettant d’extraire un élément unique dans chaque ensemble afin

[pic] Cette fonction est appelée l’exponentielle complexe. 2. Intégrales : On la définit comme l’application linéaire [pic] Où[pic]. Et l’intégrale définie[pic]. 3. Espaces de produit interne (Espaces de Hilbert) : Soit H un espace de fonctions (possiblement un espace des vecteurs). Soient f et g deux éléments appartenant à H. On définit un produit interne comme une application , tel que =a+b et =,. On définit ||f||=[pic] la norme de f dans H. Cette quantité

l’impossibilité de tester un voyage humain à la vitesse de la lumière. Cette objection a-t-elle pour autant porté un coup à la théorie de la relativité générale ? Au contraire, elle est encore aujourd’hui discutée et a permis de préciser le cadre de base. L’expérience de pensée ou la simulation informatique sont plutôt des aides de pensée que de véritables expérimentations. Elles ne peuvent faire office de preuve expérimentale. Aussi, la seule réponse encore valable est de considérer qu’une science

La lumière produit-elle de l'énergie ? de Arthur Agostini et Fabien Thiboult Mme Hilbert 2010/2011 Sommaire Introduction page 1 Énergie thermique page 2 Énergie voltaïque page 3 Illustrationspage 4 Conclusions page 5 Introduction Au travers cet exposé je vais démontrer que la lumière produit de l'énergie. Il existe 2 types d'énergies: énergie thermique et l'énergie photovoltaïque. L'énergie thermique permet de réchauffer l'eau et chauffer les maisons

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Rappels de math´matiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.1 Bras et Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Op´rateurs sur un espace de Hilbert. Th´or`me spectral. . e e e 5.2.3 Codiagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Norme d’op´rateur. Exponentielle d’op´rateur. . . . . . . e e 5.2.5 Avertissement sur la dimension infinie . . . . . . . . . . . 5.2.6 c-nombres et

cherché à répondre à des questions sur les nombres et non sur “l’ultime constituant de la nature” (l’eau, la terre, l’air, le feu). - les pythagoriciens ont une conception abstraite du nombre. Ils les voyaient comme “des atomes d’espace, des unités de base de la matière physique”. -Pour suivre la thèse des pythagoriciens “il a fallu transporter la méthode mathématique à l’intérieur de la physique et de la métaphysique. =Ainsi, les mathématiques n’ont de signification que dans leur contexte culturel