Base de Hilbert

invariant. Il en sera de mˆme de tout e op´rateur fonction des composantes de J . e -1.6. Repr´sentation standard {J 2, Jz } e Les vecteurs propres de J 2 correspondant a la valeur propre j(j + 1) forment un certain sous-espace F (j) ` de l’espace de Hilbert des solutions de l’´quation de Schr¨dinger. La dimension de cet espace d´pend du e o e syst`me physique consid´r´. Il est possible de choisir dans cet espace un syst`me complet orthonorm´ e ee e e {|τ j j } o` l’indice τ repr´sente l’ensemble des

semi-normes sur E. On munit E de la topologie O engendrée par la famille des semi-boules ouvertes { Bpi(x, r) ; i ∈ I , x ∈ E , r > 0 } . Pour cette topologie, on a les propriétés suivantes. 1. Les intersections finies de semi-boules ouvertes forment une base d’ouverts. 2. Un système fondamental de voisinages de x ∈ E est donné par{ ⋂ j∈J Bpj(x, rj) ; J ⊂ I finie , rj > 0 } . 3. Une suite (xn) d’éléments de E converge vers x si et seulement si ∀i ∈ I, pi(xn − x) −−−→ n→∞ 0 . 4. La topologie O est séparée

expérimentale, l'un des deux piliers du développement de la Science moderne. David Hilbert, mathématicien allemand. Au cours du xviiie siècle et du xixe siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupesissus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits parDedekind. Le xixe siècle voit avec Cantor, Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la

été définies au moment des sommes directes. PROP : les projections sont linéaires. D6 1 COURS MPSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 09/10 Propriétés immédiates : si E = F ⊕ G , soient p (resp q) la projection de base F (resp G) et de direction G (resp F ) : −′ ∈F → x −′−− ∈G → → x x p ◦ p = p, p ◦ q = h0 , p + q = h1 = idE si F = E, p = h1 = idE si G = E, p = h0 → → → → ∀− , − ′ ∈ E − ′ = p (− ) ⇔ x x x x D7 c) Exemples de K 2 dans K 2 . E1 d) Exemples en analyse

mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3 Quelques r´ sultats de densit´

lumière) et aux champs gravitationnels faibles. La relativité générale est principalement l'œuvre d'Albert Einstein, dont elle est considérée comme la réalisation majeure, qu'il a élaborée entre 1907 et 1915. Les noms de Marcel Grossmann et de David Hilbert lui sont également associés, le premier ayant aidé Einstein à se familiariser avec les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la théorie (la géométrie différentielle), le second ayant franchi conjointement avec Einstein les dernières

produit de Blaschke, on peut considérer que la preuve en est donnée ici avec toutes les indications nécessaires. Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration et de la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie

Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une équation différentielle ordinaire . Union finie de sous-espaces stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . .

questions de cryptage de la parole; rencontre de C, Shannon. 1944 - Travaille à sa machine électronique de codage de la parole, Delilah 1 1945 - Fin de la guerre en Europe Fév. 1952 - Subit un traitement hormonal 1952 - Publication de son article « La base chimique de la morphogenèse » dans les Philosophical Transactions of the Royal Society. Etudes phyllotaxiques. 1945 - Commence à concevoir son projet de « construire un cerveau ». Entre au National Physical Laboratory à Teddington pour construire un

que s’ils y mettaient le temps voulu, ils pourraient formaliser enti´rement leurs e d´monstrations. e On ne peut pas non plus d´finir tout les objets math´matiques ` partir de e e a rien, c’est ` dire qu’on doit se donner un certain nombre d’objets de base dont a la d´finition est intuitivement ´vidente. Au d´but du si`cle eu lieu une tentae e e e tive pour construire tout les objets math´matiques ` partir des seules notions e a d’ensemble et d’appartenance; c’est ce point de vue qui c’est impos´, et