Champ de vecteurs

CantatJME3.rep140 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3 Théorème de Poincaré-Bendixson Serge Cantat Introduction. On présente ici une démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson et quelques questions qui lui sont liées. Ce théorème s’inscrit dans le cadre de la théorie qualitative des équations différentielles, il n’est donc pas surprenant d’y voir attaché le nom d’Henri Poin- caré. Son énoncé donne l’existence de solutions pério- diques pour des équations

• de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement, • de déformer un corps. 2. Classification des actions mécaniques Les actions mécaniques sont classées en deux familles: • Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ magnétique) • Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) Un ensemble de corps étant défini (isolement), on distingue les actions mécaniques extérieures des actions mécaniques intérieures à cet ensemble. |Soient

tourner librement autour d’un axe passant par O. Son extrémité A plonge légèrement dans le mercure. Le fil OA traverse un champ magnétique uniforme et horizontal B qui s’étend sur une distance l = 6 cm. Soit M le milieu de la portion du fil plongée dans ce champ tel que OM = 40 cm. On fait passer dans le fil OA un courant descendant d’intensité I = 9 A. L’intensité du champ magnétique est B = 15.10-2 T (voir schéma). 1. Dans quel sens dévie le fil OA ? Justifier la réponse (le montrer sur le

ELECTROSTATIQUES.…..……1 Chapitre II - CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES.…..………….7 Chapitre III- THEOREME DE GAUSS………………………………………17 Chapitre IV - LE DIPOLE ELECTROSTATIQUE…………………………….28 Exercices corrigés Calcul de la force et du champ électrostatiques crées par des charges ponctuelles …………………………………………………………………………….……35 Calcul direct du potentiel et du champ électrostatique crées par une distribution continue de charges…………………………………………………………….39 Calcul du champ et du potentiel électrostatique crées

connaissance du vecteur-rotation n’est pas exigible. Notions et contenus 1.1. Description et paramétrage du mouvement d’un point Espace et temps classiques. Référentiel d’observation. Caractère relatif du mouvement. Description d’un mouvement. Vecteur-position, vecteur-vitesse, vecteur-accélération. Systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Capacités exigibles Réaliser et exploiter quantitativement un enregistrement vidéo d’un mouvement : évolution temporelle des vecteurs vitesse

1.1. Représentation d’un point dans l’espace 1.2. Vecteurs 1.3. Circulation d’un vecteur 1.4. Flux d’un vecteur 1.5. Angle solide 1.6. Opérateurs vectoriels 1.7. Relations vectorielles 1.8. Transformations intégrales Exercices Corrigés 1 2 5 6 7 8 13 14 17 19 CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27 2.1. Charges électriques 2.2. Loi de Coulomb 2.3. Champ et potentiel 2.4. Force et énergie potentielle électrostatiques 2.5. Circulation du champ électrique 2.6. Loi locale et loi intégrale 2.7. Exemples

le produit de la valeur de la composante de la force dans la force dans la direction du déplacement (t) par la valeur du déplacement. Formule : W = F . cos . Remarque : Le travail d’une force est une grandeur scalaire (c’est une valeur, pas un vecteur). C. Unité SI Le travail effectué par une force s’exprime en joules (J). Equation aux dimensions : [F] = N [] = m  [W = F . ] = N . m = J La joule est le travail effectué par une force constante de 1N qui déplace son point d’application de 1m dans

et la hauteur de chute suffisamment faible pour que le temps de chute soit petit devant le temps τ caractéristique de la chute ( résistance de l’air négligeable ). 2. Vecteur accélération d’un mouvement de chute libre Lors de la chute libre d’un solide, le vecteur accélération a G de son centre d’inertie est égal au vecteur champ de pesanteur g : aG = g L’accélération est indépendante la masse de l’objet Important : il faut savoir démontrer ce résultat à partir de la deuxième loi de Newton. 3

en éléments matériels considérés comme quasi-ponctuels. Pour cette première partie, les outils mathématiques nécessaires sont volontairement limités : - pour la cinématique : à la géométrie dans R2 et dans R3 (vecteurs, produit scalaire) ainsi qu'aux notions de dérivée temporelle d'un vecteur dans un référentiel donné et de dérivée d'une fonction composée ; - pour la dynamique : à la distinction entre équation différentielle linéaire ou non-linéaire (superposition de solutions ou non) ; à la résolution

fonctionnement. Alors qu’est-ce qu’un accélérateur ? C’est un dispositif construit pour augmenter la vitesse mais surtout l’énergie des particules. Pour augmenter l’énergie des particules, il existe une seule solution, il faut les soumettre à un champ électrique le plus intense possible. Seules les particules chargées et stables pourront être accélérées. En pratique, les premiers accélérateurs s’appliquèrent tant aux protons qu’aux électrons. D’après « Le vrai roman des particules élémentaires