Combinaison

Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Espace des solutions d'un système d'équations linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire 6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81

cours Cours magistraux (26h) Travaux dirigés (14h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels I- Structure d’espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels III- Combinaison linéaire - Système générateur IV- Système libre - système lié V- Ordre et rang d’un système de vecteurs VI- Base d’un espace vectoriel VII- Espace vectoriel de dimension fini Chapitre 2 : Applications linéaires I- Définitions et généralités II-

ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en et , dont on connaît une primitive. Voici un exemple. D'où une primitive de : Observons

inversibles. À titre d’exercice, écrire les opérations inverses. On peut définir d’autres opérations élémentaires comme composées des opérations élémentaires de base : changer l’ordre des lignes, additionner des lignes, ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, etc. Définition A.4 Deux systèmes (Σ1 ) et (Σ2 ) sont dits équivalents si l’un se déduit de l’autre par une succession d’opérations élémentaires. Les opérations élémentaires étant inversibles, on peut bien passer d’un

0) pour le vecteur nul. On dit aussi que − → − → λ1 x1 + · · · + λp xp est une combinaison linéaire. Plus précisément, c’est la combinaison →, . . . , − →) de coefficients (λ , . . . , λ ). linéaire des vecteurs (− x x 1 p 1 p − → − → Une partie {x1 , . . . , xp } est liée si et seulement s’il existe des coefficients (λ1 , . . . , λp ) → +· · ·+λ − → non-(tous nuls) tels que la combinaison linéaire λ1 − x 1 p xp s’annule. En d’autres − → − → termes, une partie {x1

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

raison de sa simplicité. Il existe une infinité de bases de R2, mais toutes les bases sont formées de 2 vecteurs indépendants. Si v = [pic], v est un vecteur de R2 car v a deux composantes (1 et 2). Tout vecteur de R2 se met sous la forme d’une combinaison linéaire unique des vecteurs d’une base quelconque de R2 (théorème). En particulier v = 1 * e1 + 2 * e2. Comme v = 1 * e1 + 2 * e2, on peut donc écrire que : f(v) = f(1 * e1 + 2 * e2 ); Comme f est une application

4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r li (X) = k=1 k=i X − λk . λi − λk (a) Calculer li (λj ) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}. (b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes li avec i ∈ {1, . . . , r}. 5. Une propriété de l’exponentielle : soit P une matrice inversible de Mn (R) et D une matrice de Mn (R). (a) Justifier que l’endomorphisme de Mn (R) défini par M → P M P −1 est une application continue

s’écrire : 1 u (x,y,2x  y) On peut décomposer u de la manière suivante : u (x,0,2x)(0,y,y) Donc : u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1 yV2 Avec : V1(1,0,2) et V2 (0,1,1) 1) Ainsi, un vecteur quelconque de F1 est combinaison linéaire des vecteurs V1 et V2 F1 est engendré par ces deux vecteurs. On a alors : F1  Vect(V1,V2) Conclusion : F1 est donc un sous-espace vectoriel de IR 3 Exercice 3 2) Soit u un vecteur de forme : F2 , u est

DES MATIÈRES Table des matières 1 Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . 1.1.4 Combinaisons linéaires de vecteurs 1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . 1.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . 1.2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorèmes fondamentaux . . . . . .