Corrigé des exercices sur les applications linéaires

Le texte indique que f est une application linéaire de R2 dans R3. Le texte donne deux vecteurs e1 = [pic]et e2 = [pic]; ces deux vecteurs appartiennent à R2 car ces 2 vecteurs ont deux composantes. On peut noter que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants car e1 n’est pas égal à une constante multipliée par e2. Comme ce sont deux vecteurs indépendants et que l’ensemble R2 a pour dimension 2, les vecteurs e1 et e2 forment une base de R2 . Cette base est appelée base canonique en raison de sa simplicité. Il existe une infinité de bases de R2, mais toutes les bases sont formées de 2 vecteurs indépendants.
Si v = [pic], v est un vecteur de R2 car v a deux composantes (1 et 2).
Tout vecteur de R2 se met sous la forme d’une combinaison linéaire unique des vecteurs d’une base quelconque de R2 (théorème).
En particulier v = 1 * e1 + 2 * e2. Comme v = 1 * e1 + 2 * e2, on peut donc écrire que : f(v) = f(1 * e1 + 2 * e2 ); Comme f est une application linéaire, on peut écrire : f(v) = f(1 * e1 ) + f(2 * e2 ); Comme f est une application linéaire, on peut écrire : f(v) = 1 * f( e1 ) + 2 * f( e2 ); Les données du texte donnent f( e1 ) = [pic] ; f( e2 ) = [pic] ; Avec ces données, on peut écrire : f(v) = 1 * [pic] + 2 * [pic] ; = [pic]+ [pic] = [pic] De manière générale comme v =[pic] est un élément de R2, on peut écrire: v = x1 e1 + x2 e2 Comme v = x1 e1 + x2 e2, on peut donc écrire que : f(v) = f(x1 e1 + x2 e2); Comme f est une application linéaire, on peut écrire : f(v) = f(x1 e1 ) + f(x2 e2); Comme f est une application linéaire, on peut écrire : f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 ); Les données du texte donnent f( e1 ) =[pic] ; f( e2 ) = [pic] ; Avec ces données, on peut écrire : f(v) = x1 * [pic] + x2 * [pic] ;