Corps commutatif

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

RAPPELS SUR LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS 1. Groupes D´finition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition e • la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G, • il existe un ´l´ment neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G, ee • tout ´l´ment a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e ee Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe ab´lien. e D´finition 2

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

√ √ puisque I ⊂ I. De plus, si x est dans I alors (−x)n = (−1)n xn ∈ I puisque xn ∈ I et que I est un idéal. Prenons maintenant x, y ∈ I et n, m ∈ N tels que xn ∈ I, y m ∈ I. Alors, par la formule du binôme que l’on peut appliquer dans l’anneau commutatif A, on a n+m n + m k n+m−k (x + y)n+m = x y . k k=0 Or, si k ≤ n, alors n + m − k ≥ m et donc y n+m−k ∈ I, ce qui entraine xk y n+m−k ∈ I. Si k ≥ n, cette fois xk ∈ I et donc xk y n+m−k ∈ I. (I, +) √ étant un sous-groupe de (A, +), on en déduit

Introduction aux structures algébriques c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain

PLAN DE L’EXPOSE INTRODUCTION Chapitre 1 : FILTRATIONS Chapitre 2 :LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS D’IDEAUX Chapitre 3 :LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DE MODULES CONCLUSION 1 Introduction A Soit (A, m, k) un anneau local noethérien de corps résiduel k = m . Pour In tout idéal I de A, le A−module mI n (n ∈ N) est muni d’une structure de k−espace vectoriel de dimension finie. Dans [NR], Northcott et Rees ont In montré que la fonction ϕI : n → dimk mI n , qui mesure le nombre minimal de générateurs

n i 0 P a ∑ bi ai   % #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" # Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré par K a . σ X . alors L. © % $" # Définition - Notation Le sous-anneau de E engendré par K alors que K a désigne le sous-corps de E engendré K a .  ¡  £ ¢ ¡ % &" # © £ ¢ £ ¢ £ ¢ ¡ D’où τ σ. £ ¢ £ ¢ ¡ ¡ ¡ £ ¢ τ P τ ∑ bi X i    ¡ £ ¢ £ ¢ ¡ !      ©  ¡  ©   i n i 0 ∑ bi X i dans K X i n ∑τ   © ¡

| modifier le code] Corps de logis, corps de bâtiment Biologie[modifier | modifier le code] Corps : un tout biologique chez l'homme (le corps humain) comme chez l'animal. Corps : cadavre d'une personne décédée. Mathématiques[modifier | modifier le code] En mathématiques, un corps est une structure algébrique dans laquelle il est possible d'additionner, de multiplier et de calculer des inverses pour la multiplication. On est amené à distinguer : les corps commutatifs, dont la multiplication

énonce un critère qui porte aujourd'hui son nom, le critère de Cauchy : il faut et il suffit que les distances |xn-xm| soient aussi petites que souhaitées pour n et m suffisamment grands. Par l'énoncé de ce critère, Cauchy affirme la complétude du corps des nombres réels, propriété sur laquelle peut être fondée sa définition. Cette approche est formalisée par MérayH 3 en 1869 puis par CantorH 4 en 1883 ou en 1872. Cette idée, particulièrement adaptée à l'analyse, trouve des prolongements dans les

prestations s’échelonnent dans le temps Ex : Contrat de travail, bail Dans les contrats à exécution successive, la nullité ou la résiliation ne produisent d’effet que pour l’avenir. 5. Contrats commutatifs ou aléatoires C’est une subdivision des contrats à titre onéreux. * Contrats commutatifs : L’importance des prestations de chaque partie peut être évaluée dès la formation du contrat. * Contrats aléatoires : L’importance de la prestation de l’une des parties au moins dépend d’un évènement