Corps commutatif

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;

3.1.1 (opérations sur l’ensemble R2 ) On munit l’ensemble R2 des deux lois suivantes : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) ∀ (x, y, x , y ) ∈ R4 , (x, y)(x , y ) = (xx − yy , xy + yx ) Muni de ces deux lois, R2 possède une « structure de corps commutatif ». Plus précisément : – Le neutre pour la loi + est (0, 0), et l’opposé de (x, y) est (−x, −y). – Le neutre pour le produit est (1, 0). – Pour tout z = (x, y) non nul, l’inverse de z est : 1 x −y = , 2 . 2 2 z x + y x + y2 Définition 3.1.1

. . . . . . . . Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement des fonctions croissantes . . . . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . .

notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour

1 1.1 Compléments sur R La droite réelle La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont

. . . . . . . . . . . . . . . Page 2 / 19 Mamouni, CPGE Rabat MPSI-Maths R´sum´ de cours e e R´vision Alg`bre Lin´aire (Sup) e e e mamouni.myismail@gmail.com www.chez.com/myismail Dans tout le r´sum´ de cours K d´signe un sous-corps de C, en g´n´ral K = R ou K = C. e e e e e 1 1.1 Structures d’espaces vectoriels. Structures. D´finition 1 e On dit qu’un ensemble E est un K-ev s’il est muni d’une LCI + et d’une LCE . ` a co´fficients dans K, v´rifiant les axiomes suivants :

tous le probl`me, E d´signe une partie de P. e e 1. On suppose que E est non vide. Montrer que ΠE est un irrationnel. [ S ] 2. Prouver que KE est un sous-anneau de R. [ S ] 3. On va montrer, par r´currence sur n = card(E), que KE est un sous-corps de R. e La propri´t´ est vraie si n = 0, car alors E = ∅ et on sait que K∅ = Q. ee On se donne donc un entier n 1, et on suppose que la propri´t´ est vraie au rang n − 1. ee On suppose que card(E) = n. On note q un ´l´ment de E, et G = E

G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un sous-corps de C. Soient F = {(x1 , ..., xn ) ∈ E/ x1 + ... + xn = 0} et G = Vect ((1, ..., 1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F et G sont supplémentaires

´ Cours de Mathematiques ´ Nombres complexes, trigonometrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´trie e Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . I.1 D´finition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e I.2 Notation cart´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . e I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle

D´composition en ´l´ments simples . . . e ee 2.4 Pratique de la d´composition en ´l´ments e ee . . . . . . . . . . . . . . . simples 2 Chapitre 1 Polynˆmes o 1.1 Pr´sentation des polynˆmes e o D´finition 1.1.1 On se place sur un corps commutatif k. Un polynˆme est e o d´fini par la donn´e de ses coefficients a0 , , ..., an ´l´ments de k. X ´tant e e ee e une lettre muette, on note P (X) = a0 + a1 X + ...an X n ou ak X k , ´tant e k≥0 entendu que la somme ne comporte qu’un nombre fini