Cosinus hyperbolique

l’unité On note ω = e2iπ/n , α = eiπ/n et D le déterminant n × n : D = det ω (k−1)(l−1) . 1. Calculer D2 . 2. Montrer que D = ∏k< (ω − ω k ) = ∏k< α k+ · 2i sin −k n π . 3. Exprimer D sous forme trigonométrique. Correction [003457] Exercice 3458 Cosinus Soient α1 , . . . , αn ∈ R. Mettre le déterminant : det cos(( j − 1)αi ) sous la forme d’un déterminant de Vandermonde. Correction [003458] Exercice 3459 (xi + y j )k Soit k n − 1 et M = (xi + y j )k . Écrire M comme produit de deux matrices et

qu’on peut voir, e e mˆme localement si la g´om´trie est non euclidienne. On a vu que sur un disque e e e tournant, K ≥ 2π (cf. ´q. (7.7)). Une telle situation correspond ` une g´om´trie e a e e R sur une surface en forme de selle ou parabolo¨ hyperbolique (cf. Fig. 7.5). ıde Le d´part de la g´om´trie euclidienne, autrement dit la courbure de l’espace– e e e temps peut-ˆtre ainsi exprim´ par l’exc`s du rayon de courbure e e e rexc = rmes − rpred , (7.19) o` rmes est le rayon mesur´ exp´rimentalement

f(x)=1/sqrt(9-x**2) sage: f.integrate(x) x |--> arcsin(1/3*x) 15. sage: f(x)=1/(4-9*x**2) sage: f.integrate(x) x |--> -1/12*log(3*x - 2) + 1/12*log(3*x + 2) 16. sage: f(x)=1/sqrt(x**2+9) sage: f.integrate(x) x |--> arcsinh(1/3*x) Noter ici le sinus hyperbolique dû au signe différent par rapport au point 14. 17. Ici, c’est le changement de variable u = ln(x) qui fonctionne parce qu’il amène gratuitement du = dx/x, c’est à dire le x du dénominateur : dx x 1 − ln2 (x) = √ du = arcsin(u) = arcsin ln(x) . 1

f(x)=1/sqrt(9-x**2) sage: f.integrate(x) x |--> arcsin(1/3*x) 15. sage: f(x)=1/(4-9*x**2) sage: f.integrate(x) x |--> -1/12*log(3*x - 2) + 1/12*log(3*x + 2) 16. sage: f(x)=1/sqrt(x**2+9) sage: f.integrate(x) x |--> arcsinh(1/3*x) Noter ici le sinus hyperbolique dû au signe différent par rapport au point 14. 17. Ici, c’est le changement de variable u = ln(x) qui fonctionne parce qu’il amène gratuitement du = dx/x, c’est à dire le x du dénominateur : dx x 1 − ln2 (x) = √ du = arcsin(u) = arcsin ln(x)

(pharm.), anticoagulant anticoagulin n. (bio.), anti-coagulant m. anticoïncidence n., anti-coïncidence f. anticommutative adj. (math.), anticommutatif anticonvulsant adj., n. (pharm.), anticonvulsivant(e) adj., n. m. anticosine n. (math.), arc m. cosinus anticyclone adj., n. (météo.), anticylonique adj., anticyclone n. m. antideflagrating equipment n. (instr.), appareil m. antidéflagrant antidepressant drug n. (pharm.), médicament m. antidépresseur antiderivative n. (math.), primitive f., intégrale

naturel, resp. base 10, de var Cosinus, resp. arc cosinus, de var. Angle exprimé en radian Sinus, resp. arc sinus, de var. Angle exprimé en radian Sécante, resp. cosécante, de var. Angle exprimé en radian Tangente, resp. arc tangente, de var. Angle exprimé en radian Cotangente, resp. arc cotangente, de var. Angle exprimé en radian Angle entre -pi et +pi correspondant à dx et dy Passage de coordonnées carthésiennes en coordonnées polaires, et vice-versa Fonctions hyperboliques... sqrt(var) exp(var) log(var)

(pharm.), anticoagulant anticoagulin n. (bio.), anti-coagulant m. anticoïncidence n., anti-coïncidence f. anticommutative adj. (math.), anticommutatif anticonvulsant adj., n. (pharm.), anticonvulsivant(e) adj., n. m. anticosine n. (math.), arc m. cosinus anticyclone adj., n. (météo.), anticylonique adj., anticyclone n. m. antideflagrating equipment n. (instr.), appareil m. antidéflagrant antidepressant drug n. (pharm.), médicament m. antidépresseur antiderivative n. (math.), primitive f., intégrale

e par f de 0 et 1 sont respectivement f −1 (0) = Z et f −1 (1) = 1 2k + , k ∈ Z .x 2 Fonctions usuelles  Exemple 1.2.4 La fonction tangente est d´finie sur R\ e (2k + 1)π sin x , k ∈ Z par tg : x → . 2 cos x La fonction sinus (resp. cosinus ) hyperbolique, not´e sh (resp. ch ), est d´finie pour e e La fonction de R2 dans R d´finie pour tout couple (x, y) par f (x, y) = |x| + |y| est dite e fonction ` deux variables. x a chaque r´el x par sh x = 1 (ex − e−x ) (resp. ch x = 1 (ex + e−x )). e

On note ω = e2iπ/n , α = eiπ/n et D le déterminant n × n : D = det ω (k−1)(l−1) . 1. Calculer D2 . 2. Montrer que D = ∏k< (ω − ω k ) = ∏k< 3. Exprimer D sous forme trigonométrique. α k+ · 2i sin −k n π . [003457] Correction Exercice 3458 Cosinus Soient α1 , . . . , αn ∈ R. Mettre le déterminant : det cos(( j − 1)αi ) sous la forme d’un déterminant de Vandermonde. Correction Exercice 3459 (xi + y j )k Soit k ≤ n − 1 et M = (xi + y j )k . Écrire M comme produit de deux matrices et calculer

Pour ce faire, e e e la trigonom´trie introduit quatre fonctions ´l´mentaires d’un angle α donn´ : le sinus, le e ee e cosinus, la tangente et la cotangente. La figure 1.2-a rappelle graphiquement la d´finition e de ces lignes au moyen du “cercle trigonom´trique” de rayon unit´. En trigonom´trie, e e e l’unit´ pr´f´r´e pour la mesure des angles est le radian. e eee Le sinus et le cosinus sont d´finis pour toute valeur r´elle de l’angle α. La tangente n’est e e d´finie que pour des angles diff´rents de −π/2