Cosinus hyperbolique

variable x + 2 = ε ch t , où ε est le signe de x + 2, et où t est positif. On a dx = ε sh t dt et l’on calcule ch2 t − 1 ε sh t dt = ε ch t sh2 t dt . ch t On peut transformer la fonction en utilisant les formules de trigonométrie hyperbolique, de la manière suivante : sh2 t sh2 t ch t sh2 t , = 2 ch t = 2 ch t = ch t − ch t ch t 1 + sh t 1 + sh2 t alors sh2 t dt = sh t − arctan sh t , ch t et puisque sh t = ch2 t − 1 = (x + 1)(x + 3) , on obtient finalement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Études de fonctions 148 8.1 Une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.2 Développements limités du sinus et du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9 Fonctions trigonométriques 150 9.1 Fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.2 Une somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rigueur mais quelque soit le point de vue avec lequel ont les aborde la notion de d´emonstration y est fondamentale. Nous nous effor¸cons de donner presque toutes les d´emonstrations. L’exception la plus notable est la construction des fonctions cosinus et sinus, pour laquelle nous utiliserons l’intuition g´eom´etrique provenant de la repr´esentation du cercle trigonom´etrique ; l’int´egrabilit´e des fonctions continues sera aussi en partie admise. 2 Il y a l` a une difficult´e qui sera lev´ee

yogourt est donné par où t est le temps en jours. a) Quelle était le nombre de bactéries au départ ? b) Après combien de temps, y aura-t-il 1600 bactéries ? Exercice 7.16. On peut démontrer que la forme d’une corde suspendue est donnée par un cosinus hyperbolique (cosh). Sachant que ex + e−x , 2 qu’elle est la valeur minimale de cosh x ? cosh x = Exercice 7.17. Un parachutiste se lance d’un avion en chute libre ; en se couchant, il maximise la résistance de l’air. Supposons que cette résistance soit

Concavité 6.2. Plan d’étude d’une fonction réelle 7. Exercices 31 32 34 35 35 35 Chapitre 5. Fonctions usuelles 1. Logarithme népérien 2. Fonctions logarithmiques 3. Exponentielle 4. Fonctions exponentielles 5. Fonctions puissances 6. Fonctions hyperboliques 7. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques 8. Exercices 41 41 42 42 43 44 44 45 47 Chapitre 6. Intégral de Riemann 1. Intégral des fonctions en escalier 2. Intégral des fonctions continues par morceaux 2.1. Propriétés 2.2. Sommes de Riemann

. . 8.2.6 Approximation par différences finies de l’équation de la chaleur monodimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7 Approximation par éléments finis de l’équation de la chaleur monodimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . Equations hyperboliques : un problème d’advection scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Discrétisation par différences finies de l’équation d’advection scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mode est réel. Ainsi, en mode complexe, toutes les simplifications sont automatiques. 4.4- Le choix du mode angulaire Il existe 3 modes pour écrire un angle : Deg (degrée) , Rad (radian) et Gra (grade). Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente) de la calculatrice calculeront les résultats en fonction du mode choisi. 9 9 Pour afficher le mode configuration Se déplacer à l’aide de SHIFT MENU (SET UP). pour se placer sur

Mode est réel. Ainsi, en mode complexe, toutes les simplifications sont automatiques. 4.4- Le choix du mode angulaire Il existe 3 modes pour écrire un angle : Deg (degrée) , Rad (radian) et Gra (grade). Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente) de la calculatrice calculeront les résultats en fonction du mode choisi. 9 9 Pour afficher le mode configuration Se déplacer à l’aide de SHIFT MENU (SET UP). pour se placer sur

eθx Mac-Laurin est : xn+1 . On vérifie comme précédemment, que cette limite tend vers (n + 1)! zéro quand n tend vers ∞ ; et ceci quelque soit x dans R. Finalement : ∞ xn x x2 x3 ∀ x ∈ R, ex = 1 + + + + ··· = · 1! 2! 3! n! n=0 2) Les fonctions hyperboliques : Les fonctions cosinushyperboliques et sinushyperboliques ont même rayon de convergence que la fonction exponentielle, c’est à dire R = ∞. ex + e−x x2 x4 x6 ch x = =1+ + + + ··· = 2 2! 4! 6! sh x = ex − e−x x3 x5 x7 =x+ + + + ··· = 2 3! 5! 7!

eθx Mac-Laurin est : xn+1 . On vérifie comme précédemment, que cette limite tend vers (n + 1)! zéro quand n tend vers ∞ ; et ceci quelque soit x dans R. Finalement : ∞ xn x x2 x3 ∀ x ∈ R, ex = 1 + + + + ··· = · 1! 2! 3! n! n=0 2) Les fonctions hyperboliques : Les fonctions cosinushyperboliques et sinushyperboliques ont même rayon de convergence que la fonction exponentielle, c’est à dire R = ∞. ex + e−x x2 x4 x6 ch x = =1+ + + + ··· = 2 2! 4! 6! sh x = ex − e−x x3 x5 x7 =x+ + + + ··· = 2 3! 5! 7