David Hilbert

Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi et Polynômes de Tchebychev 02 David Hilbert David Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques

fausse. e D´finition : Un espace vectoriel est complet ssi toute suite de Cauchy y est convergente. e D´finition : Un espace norm´ complet est un espace de Banach. e e D´finition : Un espace pr´hilbertien complet est un espace de Hilbert. e e D´finition : Un espace de Hilbert de dimension finie est appel´ espace euclidien. e e 1.2 Espaces fonctionnels D´finition : Un espace fonctionnel est un espace vectoriel dont les ´l´ments sont des e ee fonctions. Exemple : C p ([a; b]) d´signe l’espace des

)||u||H0 (Ω) ||v||H0 (Ω) Ce qui a(u, u)) ≥ αmin(1, σmin )||u||2 1 (Ω) H 0 Ce qui montre que a est coercive. Enfin, le théorème de Cauchy-Schwartz nous donne 1 l(v) ≤ ||v||H0 (Ω) ||f ||L2 Ce qui montre que l est continue 1 H0 (Ω) étant un espace de Hilbert, on a toutes les conditions pour appliquer le théorème de Lax-Milgram, le problème est bien posé et admet une unique solution. 2.4 0 0 Formulation variationnelle discrète : Trouver uh ∈ Vh telle que ∀vh ∈ Vh : α Ω uh vh + σ Ω uh vh

→ +∞. 4. En d´duire que la transform´e de Fourier n’est pas un op´rateur surjectif de L1 (R) dans e e e C0 (R). 5. Montrer que son image est dense. Exercice 13 - Une base hilbertienne de L2 (R) - Quatri`me ann´e e e 1. Soit H un espace de Hilbert, et E un sous espace vectoriel de H. (a) Montrer que (E ⊥ )⊥ = E. (b) En d´duire E ⊥ = {0} si, et seulement si, E est dense dans H. e 2. On suppose d´sormais que H = L2 (R). Le but est d’´tudier la famille (xn e−x e e (a) Montrer qu’il s’agit d’une

mesurée. Cela dit, le paradoxe n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie. Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées. Description classique La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement déterminée

Définition d'un vecteur : Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa norme Exemple : La direction deest la droite (AB). Le sens deest de A vers B. La norme deest la longueur AB. Egalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction

fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie. Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées. Notion d'observable[modifier | modifier le code] Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction f (x,p) réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien agissant sur un espace de Hilbert . La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs

Rappels et compléments CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN A. Les vecteurs 1. Définition : Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 8 9 9 Soit V un espace de Hilbert (sur R), K une partie de V , J une fonction définie sur V à valeurs dans R . On dit que u est minimum local de J sur K si u appartient à K et s’il existe un voisinage U de u dans K tel que ∀v ∈ U, J(u) ≤ J(v) (1.1) Si la relation précédente est vraie

De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes continue Dans la suite un signal est une fonction de temps t -> f (t) à valeurs numériques. Définition : La transformée de Fourier est une application linéaire, bijective, bicontinue de L² (R) dans L² (R), fonctions de carré sommable f -> ^f définie par ^f(w) = Rfte-iwtdt La transformation réciproque est telle que f(t)= 1/2π ^f(w) e-iwtdw a) La transformation de Fourier est qualifiée pour l’étude des signaux stationnaires