Densité

.......... 32 2 RAPPELS MATHEMATIQUES I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORME EN Z TRANSFORMEE DE Soit une variable aléatoire X qui prend ses valeurs dans un ensemble LAPLACE, appelé espace des états et soit f(x) sa fonction densité de probabilité. La fonction de répartition de X est : FX(x) = Pr{X x}. Le moment centré d’ordre k de la v. a. X est E{[X-E(X)]k} avec: E(X) = xf ( x )dx quand X est continue et E(X) = xf(x)dx quand X est discrète. Pour k = 2, nous

représente la mobilité des charges exprimée en m2 . V−1 . s−1 v E En un intervalle de temps égal à 1 seconde, un certain nombre de charges « N » − → traversent la surface considérée « d S». → → − − N = − .n. d S. d t = →.n.1 cm2 .1 s v v n étant la densité des charges ; c’est-à-dire le nombre de porteurs par unité de volume. La charge électrique qui traverse la section en 1 seconde devient : → − − d Q = qN = q.→.n. d S. d t v Le flux d’électrons qui circule dans le conducteur est appelé courant électrique

Le foyer de l’Asie de l’Est L’Asie de l’Est est le premier foyer de peuplement au monde. On compte plus de deux milliards d’habitants dans cette région du monde. Comment expliquer une telle densité de population et comment expliquer la très inégale répartition de la population ? 1. L’Asie de l’est, la zone la plus peuplée du monde L’Asie de l’Est regroupe près d’un habitant de la planète sur trois. Doc.1. Représentation graphique de la population de l'Asie de l'Est dans le reste du monde La

le modélise par x un milieu unidimensionnel de section  selon la direction  . Il est parcouru par un flux x  la température en un point du barreau, thermique parallèlement à son axe. On note  =Jq  x  le vecteur densité de courant thermique,  =Je  x  le vecteur densité de Jq x Je x courant électrique,  E=Ex   le champ électrique en son sein et V x le potentiel x électrostatique. On se place en régime stationnaire. Q3 : Montrer que, lorsque le barreau n'est soumis qu'à de la conduction

donne :    div rot B  0  div j  0 2014/2015 Diane Cabaret de Alberti 4 Equations de Maxwell Mais il y a contradiction avec la conservation de la charge en régime variable : div j    t On introduit donc un courant fictif nommé densité de courant de déplacement jD tel que : E t Sa signification physique est la suivante : un champ électrique dépendant du temps est, au même titre qu’un courant, une source de champ magnétique. L’équation de Maxwell-Ampère exprime la forme généralisée

la plupart des cas, c’est pourquoi le point C est appelé point de burn-out. La détermination du point de burn-out est capitale dans l’étude de l’ébullition pour d’évidentes raisons de sécurité. La corrélation la plus utilisée pour déterminer cette densité de flux de burn-out est celle de Kutateladze : Avec : 0,13 < K < 0,19 dans le cas de l’eau. Zone CD Zone instable. Zone DE Zone d’ébullition pelliculaire dans laquelle le transfert de chaleur de la paroi vers le liquide s’effectue essentiellement

proportion) et faire des tests d’hypothèse (c’est à dire tester les paramètres d’une population à partir des données d’échantillonnage). M1Unité 1 : Définitions Soit X, une variable aléatoire qui représente la population. Elle est caractérisée par la densité de probabilité f(x), dans le cas d’une variable aléatoire continue, ou par sa probabilité élémentaire p(x), dans le cas d’une variable aléatoire discrète. • On appelle échantillon de taille n issu de X, ou n-échantillon de X, le vecteur aléatoire

d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u ) =  u2  1 exp −   2 2π   Représentation graphique Passage d’une loi normale quelconque à la loi normale centrée réduite On peut toujours déterminer la valeur de la fonction de densité ou de répartition d’une loi normale quelconque à partir de la loi normale centrée réduite en effectuant un changement de variable u= x−µ x = σu + µ σ Tables de distribution de la loi normale centrée réduite Utilisation de la table

répartition F(x), est appelée fonction de densité de probabilité. L'ensemble des valeurs admissibles pour une variable aléatoire continue et la fonction de densité de probabilité correspondante définissent une distribution de probabilité théorique continue. Le produit f(x)dx est appelé élément de probabilité, c'est l'équivalent de la probabilité p(x) pour une variable aléatoire discontinue. Pour une variable aléatoire continue, le cumul de la fonction de densité de probabilité est égal à1:   f

∫ 1 dt et de t 1 +∞ ∫t 1 1 2 dt : ∫ t dt 1 1 = +∞ ∫t 1 1 2 dt = Remarques : 1. On peut définir de même : −∞ ∫ f ( t )dt . − t2 2 a 2. Les propriétés de l’intégrale restent valables. 3. La densité de probabilité de la loi normale centrée réduite N(0,1) est une fonction dont +∞ l’intégrale sur IR converge et vaut 1. On a : −∞ ∫ 1 2π e dt = 1 2. Convergence d’intégrales dépendant d’un paramètre Théorème (admis) : Soit n