Dérivée extérieure

1 partie : Dérivation (1) e 2 partie : Trigonométrie Séquence 4 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne ère 1 partie Dérivation (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Nombre dérivé d’une fonction en un point 3. Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence 4. Dérivation : opérations sur les fonctions 5. Premières applications de la dérivation 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence 7. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence

∈]a,b[, on a f (x0 ) = 0 et f (x0 ) = 0 , / la fonction f présente un extrémum local en x0 . C'est un maximum si f (x0 ) < 0 , un minimum si f (x0 ) > 0 . 28 Analyse en 30 fiches 5 Application Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par : 1 f (x) = x sin pour x = 0 et f (0) = 0. / x Solution / Pour x = 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et 1 1 1 f (x) = sin − cos · x x x Étudions la dérivabilité

x (lorsque x tend vers + \infty , t tend vers - \infty ) x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t} d'où \displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \(- \dfrac{t^n}{e^t} \) = 0 IV. Dérivée de {e^{u}} - Primitive associée Si u est définie et dérivable sur I de \mathbb{R}, la fonction f(x) = e^{u( x)} est définie et dérivable sur I et f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)} De manière générale : \left(e^{u}\right)' = u'e^u

nous en donne une équation : x -a y = ¦(a) + ¦'(a) (x – a) III) FONCTION DÉRIVÉE Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction ¦ définie par ¦(x) = x2 + 3x – 4 est dérivable pour tout réel a et que son nombre dérivé en a est A = ¦'(a) = 2a + 3. Il est donc naturel de définir une nouvelle fonction qui à x associe le nombre dérivé ¦'(x). Cette fonction s'appelle la dérivée de ¦ et se note ¦'. La dérivée de la fonction ¦ : x a x2 + 3x – 4 est donc ¦' : x a 2x +3. Définition 2

( ) et de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. 1. Calculer un développement limité à l’ordre au voisinage de ( ) ( ) de : 2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en prolongée admet une dérivée première en . 3. Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de ( ) ( ) ( ) et que la fonction ainsi de : Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Justifier l’existence et calculer le développement limité à l’ordre

type f (x) = k 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquence 2 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Dérivée des fonctions « puissances » Dérivée de u +v, de ku, de uv Problème d’optimisation 1. Dérivées des fonctions x x n . Opérations élémentaires sur les fonctions dérivables Cas particuliers Fonction f Cas général Fonction dérivée f ' Ensemble de dérivabilité x k x 0 » x x x 1 » x x2 x 2x » x x3 x 3x 2 » x x4 x 4x 3 » x xn n x n-1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 31 31 Calcul différentiel élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

Correction MATHEMATIQUES : (15points) Exercice 1 PARTIE A 1. 1.1 g(0) = 1 1.2 g(0) = c donc c = 1 2. g’(0) = -0,25 et g’(0) = b donc b=-0,25 3. 3.1 g(-5) = 3,5 et g(-5) = 25a + 0,25´5+1 = 25a+2,25 donc on a : 25a+2,25 = 3,5 3.2 25a=1,25 donc a= 1,25/25 = 0,05 4. g(x) = 0,05x2 –0,25x + 1 PARTIE B : 1. f(0) = 1 donc B(0 ;1) est sur la courbe. f(5) = 0 donc C(5;0) est sur la courbe. 2. f’(x) = 0,018x2 –0,04x – 0,25 3. f’(0) = -0,25 et f’(5) = 0 4. D passe par B car si x=0 alors y=1 (avec

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ ¥ [ par i(x) = 4 + - ² Exercice 3 (3.5 points) j est une