Divisibilité

P (1) = 0. o e Exercice 14. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P divise P o Exercice 15. Trouver les polynˆmes P ∈ C[X] tels que P (X + 1) = P (X). o Exercice 16. Trouver tous les polynˆmes P ∈ R[X] tels que (X 2 + 1)P − 6P = 0. o 1 Divisibilit´-Racines e Exercice 17. D´terminer l’ordre de racine 1 pour 4X 3 + 8X 2 − 11X + 3. Mˆme question e e 2 avec la racine 1 pour X 2n+1 − (2n + 1)X n+1 + (2n + 1)X n − 1. Exercice 18. Trouver les racines du polynˆme X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18 sachant

petite n’est pas un multiple qui mesure exactement la plus grande. Donc il va rester un reste qui ne mesure pas le grandeur qui était avant lui. C’est déjà l’indice que nous avons deux nombres qui sont premiers entre eux, parce que le lois de la divisibilité dit exactement que deux nombres a et b n’est sont pas premiers entre eux, si a divise b tel que k fois a est égal à b. Mais il montre que nous n’avons pas un k qui peut multiplier la ligne plus petite qui serait a dans notre exemple. Ensuite

21 Divisibilit´e dans R[X ] D´efinition Disons que le polynˆ ome A divise le polynˆ ome B, ou encore que B est multiple de A, et notons A | B, s’il existe un polynˆ ome C tel que B = AC . Il est facile de v´erifier que tout polynˆ ome divise 0, mais que 0 ne divise que lui-mˆeme. De mˆeme, 1 divise tout polynˆ ome, mais les seuls polynˆ omes qui divisent 1 sont les constantes non nulles. Herv´ e Hocquard (LaBRI) Les polynˆ omes 9 octobre 2012 7 / 21 Divisibilit´e dans

3ab2 + b^3 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = a^3 - 3a2b + 3ab2 - b^3 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac (a^2+b^2)(a'^2+b'^2) = (ab'-a'b)+(aa'+bb') (a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2 + b^2) (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab Arithmetique: 1/Divisibilité dans Z. Soient a et b deux entiers relatifs, b etant non nul. On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = kb. Se note a|b. Proprietes. • Pour tout entier relatif non nul a, a|a. • Pour tous entiers

la protection maternelle et infantile, le logement de la requérante est situé dans une autre partie de cet immeuble composé exclusivement de logements d’habitation. Ensuite, cette partie est divisible ; c’est la première fois que le critère de divisibilité est explicitement utilisé. Auparavant, le CE utilisait toutefois le critère voisin de la dissociabilité, mais selon des directions difficiles à synthétiser. Il en résulte que le logement de la requérante qui n’a d’ailleurs jamais occupé un emploi

Arithmétique Plan de la fiche I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs II - Division euclidienne III - Congruence modulo n (n entier au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs

Cours de Mathématiques Terminale S Enseignement de Spécialité Année scolaire 2014 - 2015 Sommaire 1 Divisibilité dans Z I 1. 2. II III 1. 2. 3. 2 II 1. 2. I 1. 2. II 5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les matrices . . . .

opposés sont dit associés. Deux entiers sont associées si et seulement s’ils sont égaux à un facteur inversible près (car les inversibles de Z sont 1 et −1). Deux entiers associés ont les même diviseurs et les même multiples. Dans les problème de divisibilité, on peut donc sans inconvénient raisonner à un facteur inversible près. Concrètement, on pourra toujours se ramener à des entiers positifs. 2  Division euclidienne 3  Sous-groupes de (Z,+) Soit a∈Z. On note aZ:={an,n∈Z}={b∈Z, a|b} l’ensemble

TD DE TS SPECIALITE : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A = n2 + n est-elle irréductible? 2n + 1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) . 5 2007 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 – 8 est divisible par

divisible que par 1 et par 5. III. Quelques nombres premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,...,73,79,83,... Il existe une infinité de nombres premiers. Pour les reconnaître il faut tout d'abord connaître vos critères de divisibilité. Petit rappel : *Savoir si un nombre est divisible par 2 : Regarder le dernier chiffre du nombre : le nombre est divisible par deux si, et seulement s'il s'agit de 0,2,4,6 ou 8 (si le nombre est pair) ; . 657 326 : le dernier chiffre