Divisibilité

masses. Objectif : Découvrir et utiliser la possibilité d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des mesures de masse. Compétences :  Connaissances : Connaître l’additivité, la soustractivité, la multiplicité et la divisibilité des mesures de masse.  Capacités : Identifier des situations de sommes, différences, produits et partages équitables. Effectuer mentalement les opérations.  Attitudes : Coopérer. Argumenter. M. DENISOT / Mme DROUGARD / Mme MARTIN

1 Divisibilité dans ‫ޚ‬ Congruences On a choisi de traiter la partie arithmétique en trois chapitres. Dans chacun de ces trois chapitres, on insiste particulièrement sur les démonstrations exigibles au baccalauréat. Ainsi, de nombreux exercices sont consacrés à l’épreuve de restitution organisée de connaissances. Dans le premier paragraphe de ce chapitre, on introduit la notion de diviseur et de multiple ainsi que les propriétés liées à ces notions. Dans le deuxième paragraphe, on définit

pentagonal est égal à son côté augmenté de trois fois le triangulaire de rang précédent, c’est-à-dire Pn = n + Tn!1 (voir figure ci-contre). c) Vérifier le lien entre les nombres pentagonaux et triangulaires : 3! Pn = T3!n"1 1.3 La relation de divisibilité Préambule. Les nombres a = 2360 – 1 et b = 21110 + 1 Est-il vrai que a + b est divisible par 13 ? Définition : sont divisibles par 13. Soit deux nombres entiers a ( ! 0 ) et b. On dit que a divise b, ce que l’on note a b , s’il existe un entier

|des écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du | | | |dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du| | | |calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou | | |

composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres résultats,…, donc la présence aux séances du cours magistral

diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

factoriels. Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Soit P ∈ K [X ] . Montrer que P (X + 1) = ∑ Exercice 6 1 (n ) P (X ) . n! n =0 +∞ Arithmétique des polynômes Exercice 7 Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X −1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2 . Soit P = ∑ ak X k ∈ K[X ] . k =0 n Exercice 8 a) Montrer que P − X divise P P − P . b) En déduire

COMPLÉMENTS 1 Séries dans un evn Définition 1 : Un groupe cyclique est un groupe monogène fini 1 1 1 1 2 2 3 3 4 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il

x = = 0,5 (On divise par 6 de chaque côté de l’équation) Exercice 3 France juin 2011 - Centres étrangers juin 2009 Affirmation n° 1 : Anatole affirme : « Sans rechercher le pgcd des nombres 186 et 783 mais juste en utilisant un critère de divisibilité, je sais qu’on peut simplifier la fraction ». A-t-il raison ? 1 + 8 + 6 = 15 et 7 + 8 + 3 = 18 donc 186 et 783 sont tous les deux divisibles par 3. VRAI : La fraction est donc simplifiable au moins par 3. Affirmation n° 2 : Sydney affirme :

FICHES DE REVISION : 1) Arithmétique : PGCD de deux nombres I- Diviseurs communs de deux nombres Rappel : Divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10, 25 : Un nombre entier est divisible par 2 si : Si il est pair Un nombre entier est divisible par 3 si : Si la somme de ses chiffres est un multiple de trois. Un nombre entier est divisible par 5 si : Si il se termine par 0 ou 5 . Un nombre entier est divisible par 9 si : Si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Un nombre