Dm Nombre Complexes

1 Cours 1 :: Représentation, codage des entiers Cours 1 Représentation, codage des entiers Données numériques • • • • • • • • • Entier positif Entier signé Nombre réel Nombre complexe Caractère Chaîne de caractères Échantillon de musique Image Vidéo Most Significant Bit =7 Least Significant Bit =0 Représentation des entiers 0 dans une base Base 10 : 10 chiffres {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} 9734 = 9000 + 700 + 30 + 4 = 9.103 + 7.102 + 3.101 + 4.100 Base 2 : 2 chiffres {0 1} [aMSB an-1

Bases mathématiques A. Exponentielles complexes a. Fonction exponentielle: [pic] b. Propriétés [pic] 1. Nombres complexes Soit [pic]. Soit [pic], tel que [pic]. Fixons [pic] et [pic] l’angle dont sa tangente est égal à [pic]. On a donc [pic] On peut représenter w sur le plan complexe en identifiant l’axe des ordonnées avec i. On a alors[pic]. Et, avec la notation antérieure on peut écrire[pic], où[pic]. À partir de la

coordonnées (2 ; 7) appartient à Cf car f(2) = 7, mais pas le point de cordonnées (0 ; 2) car f(0) = -3 et –3 ≠ 2. Activité : Placer les points connus de Cf dans un repère orthonormé d’unité 1cm, et “imaginer” Cf. 1 Propriété : soit k un nombre réel (“constant”) : • L’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; k) pour x variant dans R est une droite parallèle à l’axe des abscisses (on dit souvent “horizontale”) qui a pour équation y = k et qui représente une fonction dite “constante”

l’autre) Tracer un représentant de la somme de ces trois vecteurs . x 4) Multiplication par un réel : Définition : Soient [pic] un vecteur ; A et B deux points du plan tels que [pic]= [pic] ;et k un nombre réel quelconque. Le produit du vecteur [pic] par le nombre k est noté k[pic] et est tel que : a) Si k>0 alors [pic] et k[pic] sont des vecteurs de même direction et sens et k[pic] a pour longueur kAB. b)Si k

: Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0

le module de chacun des nombres complexes : z1 = 3 + 4 i z2 = 1 – i z3 = 5 – z4 = 3 z5 = i – 4 z6 = i z7 = – 5 z8 = + i 2° Soit a un nombre réel. Calculer le module du nombre suivant : z = 3° Donner les formes trigonométriques de : z1 = 1 + i z2 = + i z3 = 1 – i z4 = i z5 = 3 + i On pose j = - + i . Calculer j2 , j3 et 1 + j + j2. Déterminer la forme trigonométrique des complexes j et j2 Représenter sur le cercle trigonométrique les complexes 1 , j et j2. Retrouver

2010 Série S Page 1 sur 7 Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e– x. 1. Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels  par u(x) = xe– x est une solution de l'équation différentielle (E). 2. On considère l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. Résoudre l'équation différentielle (E’). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction

Université Claude Bernard-LYON I L2-Electromagnétisme 1 Corrigé de l’examen de Janvier 2005 I- Ondes Plane 1- L’onde se propage vers les z croissants et le champ E est polarisé elliptiquement dans le plan Oxy. r r r r E ⎡ ∂B π r ⎤ ⇒ B( z , t ) = 0 ⎢− sin(ωt − kz )u x + sin(ωt − kz + )u y ⎥ . 2- rot ( E ) = − 3 c ⎣ ∂t ⎦ r r 2 v E ( z , t ) ∧ B ( z , t ) E0 ⎡ 2 π ⎤v 2 3- Le vecteur de Poynting : R( z , t ) = = ⎢sin (ωt − kz ) + sin (ωt − kz + 3 )⎥u z cµ 0 ⎣ µ0 ⎦ La puissance moyenne (transportée

Sommation de certaines séries entières . . . 7 7 8 8 2. Opérations sur les Séries Entières 2.1. Somme de 2 séries entières . . . . . . . . . 2.2. Produit par un scalaire . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5. Exponentielle complexe 5.1. Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . 5.2. Cohérence de cette définition . . . . . . . . . 9 9 9 3. Somme d’une Série Entière 3.1. Intervalle de convergence, continuité . . . . . 3.2. Dérivation et intégration terme à terme . . . 4 6. Compléments

plan euclidien. On se propose de construire, si c'est possible, un point M tel que la somme des distances MA+MB+MC soit minimale. II. Etude d'une condition d'existence et d'unicité - Données : On identifie le plan à l'ensemble C des nombres complexes: on munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v) et à tout point M=O+xu+yv on associe son affixe z=x+iy. On note a, b et c les affixes de A, B et C, que l'on suppose non nulles. On se donne également trois points P, Q et R d'affixes p, q et