Dm Nombre Complexes

|Rencontres |Lectures, cours |Exercices | | | |Chap. 4 : (p.130 à 144; p.168 à 182) | | | | |sections : 4.1 à 4.3 et 4.11 à 4.13 |p.132 Ex. 3-5 | | | |

candidats) Partie A On considère le polynôme P défini sur C par : √ √ √ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2. √ 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0. √ 2. a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 (z 2 + az + b). b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, →, − ). On prendra 2 cm pour unité u v graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes

premier semestre E X 1 : ( 7 points ) ♣ → → − − Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 3 cm À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe : z′ = (3 + 4i) z + 5 z 6 C 1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z A = 1 + 2i, z B = 1 et zC = 3i. N Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images respectives de A, B, C par f . Placer les points A, B, C

Fonction exponentielle Définition La fonction exponentielle est définie pour tout nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives

| |I°/ Définition : | |Soit a et b deux nombres réels positifs. La racine carrée de a est | |le nombre b dont le carré est a. Elle se note[pic] :[pic] = b [pic] a = b² | |Exemples : 5 est la racine carrée de 25 c-à-d [pic]= 5  car 25 = 5²

SPSS : Analyse de données Séminaire DOYE – 28 et 29 mars 2013 Dans l’onglet « affichage des données » Vertical : individu Horizontal : question Fusionner les données Données > fusionner les données > ajouter les observations Cocher « un fichier de données SPSS Statistics Externe » Parcourir, sélectionner un fichier Dans un premier temps, il faut configurer le questionnaire sur SPSS, si la configuration est bonne, on scinde : c’est pour éviter d’avoir des variables non communes

{f | f (0) = 0} , F1 = {f | f (0) = 1} , B = {f born´e} e , S = {f deux fois d´rivable | f + f = 0} e 1 I= E = f continue | 0 f (t) dt = 0 x→±∞ f continue | lim f (x) = 2. On consid`re l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´els. e e (a) Montrer que l’ensemble des suites qui convergent vers z´ro est un sous-espace vectoriel. e (b) Montrer que l’ensemble des suites born´es est un sous-espace vectoriel. e (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel

à 3. Pivot de Gauss 4 principes fondamentaux On ne change pas la solution lorsque l’on : 1. permute 2 lignes 2. permute 2 colonnes 3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne Stratégie : Transformer le système linéaire en un système équivalent … facile à résoudre Triangulaire ! Pivot de Gauss : un exemple pivot (1) 2 x1 + 4 x2  x + 3x  1 2  3x1 − x2  − x2  − 2 x3

a) En remarquant que la courbe C passe par le point A d'abscisse 0, le point D d'abscisse 8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de f (0), f (8), f ’(0) et f ’(8). b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels a, b, c et d tels que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8], f (x) = ax3+ bx2 + cx + d. Déterminer l'expression de f ’(x) en fonction de a, b, c, d et x. c) Déduire des questions précédentes que c = 0 et d = 3 et que les réels a et b vérifient

Réponse a Le module devient 4 et l’argument devient –π/2 donc on obtient 4 x (-i) Autre méthode : mettre le nombre complexe dans la variable Z (STOre -> Z) et demander Z² : la machine donne -4i ! ( le i est en bas avec la touche point . ) 2. Réponse d Le module devient ½ et l’argument devient positif : +π/4 3. Réponse b On essaye tout ou alors : on a ²= 4 donc = 2 ou -2 : c’est le nombre qui doit être devant x (le x +…) 4. Réponse b p(X > 8) = e-(0,2x8) = 0,20189… Exercice 2 : 1. u1=6,2