Droit réel

les caractéristiques sont étudiées. Échantillon est une partie de la population que nous utiliserons en vue d’inférer de l’information à propos des caractéristiques de la population. * Pour que l’échantillon reflète les caractéristiques réelles de la population, il doit être aléatoire (siMple): * Les tirages doivent être aléatoires successifs et dans les mêmes conditions. * On ne peut tenir des caractéristiques des sujets déjà interrogés pour choisir le sujet suivant. * On ne

est-il un losange ? Justifier. 5. Soit M(0 ; y). Déterminer le réel y pour que les droites (AB) et (CM) soient parallèles. − → − → Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc Page 2/4 14 février 2012 - Durée : 2 heures SECONDE V (2 points) On considère les cinq fonctions suivantes : 2 • f (x) = x + 3 3 3 • g (x) = −x − 2 x • h(x) = + 3 3 • j (x) = −4x + 20 • k(x) = −4x + 16 Quatre sont représentées ci-dessous ; associer à chaque droite la fonction correspondante. On ne demande pas de justification

nombre complexe Z, tout nombre ayant la forme: Z = a + jb Avec : a et b des nombres réels et j est l’opérateur mathématique caractérisé par j2 = -1. a est la partie réelle de Z et se note Re(Z) ; b est la partie imaginaire de Z et se note Im(Z) ; Le module d’un nombre complexe Z = a + jb, noté Z ou |Z|, est le nombre réel positif : son argument, noté Arg(Z) ou , est l’angle définie par arctg(b/a). 1.2. Propriétés : Soit Z1 et Z2 deux nombres complexes, on peut vérifier que : l Z1 ×

Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais

équations de type f(x)=k, dont les propriétés sont particulières quand f est une fonction homographique. I) Définition 1 : fraction. Soit f et g deux fonctions affines. Il existe quatre réels a, b, c et d tels que f(x)=a +b et g(x)=c +d pour tout x réel. On définit la fonction h en posant   On constate que, si c est non nul, alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution . On ne pourra donc définir la fonction h que sur des domaines ne comprenant pas la valeur . Si c est nul et d est non

relations entre ceux-ci (bijection entre les ensemble). Il définit également les ensembles infinis et les ensembles « bien ordonnés ». Il s'intéresse aux concepts de limite et de continuité de fonctions, de courbes, indissociables de celui de nombre réel et d'un langage mathématique précis. Il définit les nombres cardinaux et les nombres ordinaux. Après parcours scolaire brillant, Cantor entreprend ses études à l'école polytechnique de Zurich, pour ensuite rejoindre l'université de Berlin, à la

orthonormé du plan, sont symétriques par rapport à la droite a : y = x . DERIVABILITE EN UN POINT f(x)-f(x ) On dit que f est dérivable en x0 o il existe un réel £ tel que : Lim—— — = £ X-»Xn V V X-X,, i est appelé le nombre dérivé de f en x 0 et on note / '(xq) = £ f(x)-f(x ) On dit que f est dérivable à droite en x0 il existe un réel £ tel que : Lim - • .....V°j- = i

la droite ayant pour représentation paramétrique : . Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse. Proposition 1 La droite est orthogonale au plan . Proposition 2 La sphère de centre O et de rayon 2 est tangente au plan . Proposition 3 L'intersection des plans et est la droite dont une représentation paramétrique est : . Proposition 4 Les droites et sont

Les suites numériques I/Définition générale Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u. (Un)n >/= 0 Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u. On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie

par f (x) = e−x et on définit la suite (u n ) par :    u0 =  1 0 1 0 2 f (x) dx = e−x dx 1 0   pour tout entier naturel n non nul, u =  n x n f (x) dx = 1 0 x n e−x dx 1 e f (x) 1. 2 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], b. En déduire que 1 e u0 1. un . 2. Calculer u 1 . 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 b. Étudier les variations de la suite (u n ). c. En déduire que la suite (u n ) est convergente. 4. a. Démontrer que