Ds Mpsi

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

un unique polynôme P de degré n tel que : ∀i ∈ {0,. . . ,n} n j =i / P(ai ) = bi . (X − a j ) (ai − a j ) j =i / Ce polynôme est P(x) = i=0 bi . 152 Fractions rationnelles 49 1re année MPSI Le programme réserve en principe ce chapitre à la section MPSI, , mais il est utile à tous pour le calcul des primitives et pour l’utilisation dans d’autres disciplines, comme la SI. 1. 1.1 Décomposition en éléments simples Définitions • De façon analogue à un nombre rationnel

1 Polynômes caractéristiques de AB et de B A Soient n ∈ N∗ , A,B ∈ Mn (K ). Montrer : χ AB = χ B A . On pourra utiliser l'existence de P,Q ∈ GLn (K ) telles que : B = PJr Q, où r = rg (B), Jr = Ir 0 0 0 . Solution Conseils D'après le Cours de MPSI, en notant r = rg (B), il existe P,Q ∈ GLn (K ) telles que : B = PJr Q. On a alors : Cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.3 2) Prop. 2. AB = A PJr Q = Q −1 (Q A PJr )Q et donc : χ AB = χ(Q A P)Jr B A = PJr Q A = P(Jr Q A P)P −1 , et χ B A = χJr (Q A P)

l’ensemble : { système ∪ extérieur } = Univers. b) Expression différentielle Soit un système fermé en contact avec l’extérieur. La variation infinitésimale d’entropie du système s’écrit comme la contribution de deux termes : L ES PRINCIPES 7 dS = δe S + δi S δe S est l’entropie d’échange, due à l’existence de transferts thermiques : δe S = δQ Text où δ Q est le transfert thermique reçu à travers la paroi limitant le système de l’extérieur et Text la température de cette frontière. Le terme

équation 3Z 2 + 2Y 2 − 6X = 0. 3 On reconnaît un paraboloïde elliptique. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 8.1.3 Coniques Les coniques ont été étudiées dans le livre de première année « Tous les exercices d’algèbre et de géométrie MPSI-PCSI-PTSI » auquel nous vous renvoyons pour les rappels de cours. La méthode de réduction des quadriques donnée plus haut s’adapte sans difficulté aux coniques. Exercice 8.7 Mines-Ponts MP 2006 Étudier la courbe (C) d’équation : 16x 2 − 24x y + 9y

Mathématiques MPsi•MP Résumé du cours en fiches Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l’université de Limoges © Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 – Analyse dans R 1 2 3 4 5 6 7 8 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Nombres réels 1re année 2 6 10 13 14 15 16 17 18 19 20 Intégrales définies 1re année 39 43 47 Fonctions numériques 1re année Calcul des primitives 1re année Limites : généralités

COMMERCIALES TOTAL PREMIERE ANNEE DE 1BTS2 2BTS2 ASS.DE GEST.DE PME PMI A REF.EURO 2BTS2 MANAGEMENT UNITES COMMERCIALES TOTAL DEUXIEME ANNEE DE 2BTS2 TOTAL BTS TOTAL LGT VICTOR SCHOELCHER CPGE1 ECO.ET COMMERC.OPT ECONOMIQUE CPGE1 LETTRES 1ERE ANNEE CPGE1 MPSI (MATH.PHYS SC.INGENIEUR) CPGE1 PCSI (PHYS.CHIM.SCI.INGEN.) TOTAL CPGE1 CPGE2 ECO.ET COMMERC.OPT ECONOMIQUE CPGE2 MP (MATHEMATIQUES ET PHYSIQUE) CPGE2 PC (PHYSIQUE ET CHIMIE) CPGE2 PSI (PHYSIQUE ET SC. INGENIEUR) CPGE2 LETTRES ENS LYON LSH TOTAL CPGE2

es ol éc ul es in te rs te Po lla us ire siè s re si nt er st el la ire s Él ec tro ns m om sc ile Ét o 1. Co et llisi ra on yo s e ns nt co re N sm pr ua iq oto ge ue n sd s s e ga z ch au ds 5  Observations de la Voie lactée dans différents domaines 400 nm 800 nm 5 µm 10 µm 100 µm Visible IR proche IR moyen IR lointain c 2.  a. λ =  avec λ en m, c en m · s–1 et ν en Hz. ν b. Le rayonnement de plus grande fréquence est