Équation différentielle linéaire

CHAPITRE 2 Exercice 1 Équations différentielles y’ = ay + b (page 38) Réponses a) f ’ (x) = e x. 1 b) f ’ (x) = – 3e x. 2 x 1 c) f ’ (x) = e 2 . 3 2 d) f ’ (x) = 2e–x. 4 Prérequis testés Calculer une dérivée. 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » 2 Connaître la fonction f telle que f ’ = af et f (0) = 1. 1. a) f (x) = e x. b) f (x) = e3x. 2. f (x) = e ax. a) a = – 1. Savoir reconnaître une solution d’une équation . b) a = – 1 différentielle. 2 c. a = 2. a) f ’(x) = 2e 2x b) f

étant une constante alors i = C. [pic] E = RC. [pic]+ uC(t) équation différentielle de la charge du condensateur 3.a) uC(t) = A (1 – e–t/() = A – A.e–t/( soit [pic]=[pic].e–t/( insérons ces expressions dans l'équation différentielle: E = RC. [pic].e–t/( + A – A.e–t/( E – RC. [pic].e–t/( = A – A.e–t/( Pour que cette égalité soit vérifiée, il faut: A = E et RC. [pic] = A soit [pic]= 1 donc ( = RC 3.b) L'équation différentielle établie est : E = RC. [pic]+ uC(t). En régime permanent, uC(t)

 d'équations   différentielles                   Logiciel  de  calcul  utilisé:  Scilab  5.1       I  Utilisation  de  la  méthode  d'Euler.               C'est   une   méthode   numérique   nommée   ainsi   en   référence   au   mathématicien  Leonhard  Euler  qui  sert  à  résoudre  des  équations  différentielles   du  premier

(1+3)(1 - 3) = 1 - 32= 1 – 3 = -2 . Le vecteur u' (1 ; -2) est donc un vecteur directeur de D3. d. D4 : y = . Ceci est l’équation réduite D4 donc u est un vecteur directeur de D4  d’après la propriété du cours qui dit que, si une droite a pour équation y = mx + p alors le vecteur de coordonnées (1 ; m) est un vecteur directeur de la droite. Mais ce n’est pas un vecteur à coordonnées entières. Pour que l’ordonnées soit entière il faut la multiplier par un multiple de 3 donc pour que u' soit une

intervalle I donné (c'est-à-dire g x f  xh x  sur I) ?...........................................................67 15.Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ?........................68 16.Comment déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a ? ............68 17.Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point A x A ; y A  du plan ? ................................................................................

trouve que La valeur finale est K. b) Ecrire le modèle sous forme de deux équations différentielles de premier ordre : Système 1er ordre : Pour ce Système dynamique : la variable change dans le temps Soit Création du fichier qui va représenter une équation, fich.m : Fonction ; Système 2nd ordre : Création d’un second fichier, mod.m : Function Y1=x(1) ; Y2= x(2) ; c) Rassemblons les deux équations pour avoir la forme vectorielle : Système3 : 2 avec X un vecteur contenant

instant donné dépend de son état à l’instant antérieur et des actions qui s’exercent sur lui. L’expression mathématique de ce déterminisme, dans le cadre du programme de terminale S, c’est l’ensemble constitué par une équation d’évolution, c’est-à-dire une équation différentielle, et des conditions initiales. Ces notions sont nouvelles pour les élèves, de même que la notion d’état. En réalité, comme on va le voir, c’est le cadre théorique dans lequel on travaille qui détermine ce qu’est un état

722/724 DS03 – Exponentielle et Equations différentielles 24 nov 2008 Exercice I - Vrai ou Faux (0,5 si juste; -0,25 si faux; 0 si pas de réponse : de 0 à 2 points) x –x x –x e e e –e f  x = g  x= Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par : et 2 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Pour tout réel x on a g  x=– f  – x 3. Pour tout réel x on a [ f  x ]2 – [ g  x ]2=1 2. Pour tout réel x on a g  x f  x0 4. Pour tout réel x on a 2 f  x g

Pour démontrer les équations différentielles on va utiliser un système d axe mobile : Référentielle inertielle Référentielle non inertielle Partie 2 : coordonne cartésienne (x, y) Partie1 : cordonne polaire( r, )     PARTIE 1 : On peut appliquer la deuxième de Newton dans un système d axe mobile non inertielle. Si l’axe n effectue un mouvement de translation (un mouvement de rotation) Alors on ne peut pas utiliser la deuxième loi de Newton car la trajectoire va s incurver alors pour pouvoir

eφ + R z e z ].eφ = Rφ = 0 0,5 pt Revenons à l' équation (1) : r rr & r r  r ρ 1r &r  & & R.v M = 0. ⇔ [Rρ e ρ + R z e z ]. ρ (e ρ + e z ) + ρφeφ  = ρRρ + R z = 0 α α   & Comme cette équation est vraie ∀ρ , Rρ + 1 α Rz = 0 (2) 1 pt c) Écrire sous sa forme vectorielle le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à la r r r particule. En déduire, par projection sur la base ( M , e ρ , e φ , e z ) , trois équations différentielles du mouvement en fonction de Rρ, Rz, ρ, φ et de