Équation différentielle linéaire

q=C*uc i(t)= C*duc/dt En convention récepteur, (les flèches de uc et de i sont en sens opposés), i est positive. En convention générateur, i est négative. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension : Etablissement de l'équation différentielle à l'aide de la loi des mailles et de la loi d'Ohm : duc/dt+1/RC uc(t)=E/RC On obtient une solution de la forme : uc(t)=Ae^αt+ B On résout l'équation à l'aide d'uc et on obtient finalement une solution de la forme : uc(t)=E(1- e^(-t/RC))

Algorithmique Numérique TP N° 1 Systèmes d ’équations différentielles Introduction Le comportement de chaque composé au sein d’un bioprocédé est exprimé par une équation différentielle du premier ordre reflétant les taux de dégradation et de formation. Ces équations différentielles résultent d’études et d’expériences effectuées en laboratoire. Le processus de fermentation que nous étudions est décrit par le système d’équations différentielles suivant : dX = (µ − u )X dt dS = − RµX + u (v

fractions. Exercice 1 : ( 4 points ) 1. Tracer dans le repère ci-contre, la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par les points A ( - 2 ; - 3) et B ( 6 ; 3 ). 2. Déterminer une équation de la droite d2 passant par le point C ( 3 ; 7 ) et de vecteur directeur ⃗u 5 3 () Exercice 3: ( 4 points ) Soit d1 et d2 deux droites du plan

4 0 π π 2. On donne E = 4 e−2t cos2 tdt et F = 4 e−2t sin2 tdt. 0 1 pt 0 a. Calculer E + F et E − F . 1 pt b. En déduire les valeurs exactes de E et de F . 1 pt PROBLEME Partie A : Equations différentielles 10 points On considère les équations différentielles (E ) : 4y ′′ + 4y ′ + y = x + 4 et (E ′) : 4y ′′ + 4y ′ + y = 0. 1 0,75 pt 2. Montrer qu’une fonction ϕ est solution de (E ) si et seulement si ϕ − u est solution de l’équation (E ′). 0,75 pt AT

d’équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle La méthode du pivot consiste à garder une équation intacte, qu’on appelle le pivot, et à éliminer une inconnue dans le reste du système en remplaçant chacune des autres équations par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot. Si le reste du système contient plusieurs équations, l’opération doit être réitérée. EXERCICE 1 — Les équations suivantes sont-elles linéaires ? [1]

population est suffisament grand pour supposer N (t) réel. L’évolution de la population N (t) est décrite par une équation du type : dN (t) = naissances − morts + migrations dt On s’intéressera à un modèle en temps continu, c’est-à-dire que la fonction N est définie pour tout t, de plus la fonction N est supposée deux fois dérivables. Ceci permet d’utiliser les équations différentielles. 2.1 Modèle malthusien Ce modèle a été proposé par Thomas Malthus en 1798. Dans ce modèle, on suppose qu’il n’y

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I. On dit alors que F est une primitive de f sur I Définition Générale: F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x). |Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x, on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x² admet pour dérivée f. F est une primitive de f sur

PRIMITIVES D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE I) Définition et conséquences Définition Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de ƒ toute fonction F dérivable sur I telle que F' = ƒ sur I. Exemple : On considère la fonction ƒ définie sur ƒ sur . Solution : F(x) = x 3 − x 2 + sin x. En effet, F'(x) = 3 x 2 − 2x + cos x = ƒ(x). Remarquons que si l'on avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 − x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate

exercice 1 Résoudre dans les équations suivantes : ------------------------------------------------- exercice 2 Mise en équation Le prix d'un article est de 180 €. Ce prix subit une majoration au taux de 25% puis une minoration à un taux inconnu, t%, sur le prix majoré. Calculer t sachant que le prix de l'article est à nouveau 180 €. ------------------------------------------------- exercice 1 Cette équation est définie sur . D'où : = {-2} Cette équation est définie sur . Si

d'Alembert (de 20 ans son aîné), sa contribution est essentielle en : Arithmétique, Algèbre : équations algébriques et résolution approchée; Théorie des fonctions réelles et complexes; développements en série (formule de Taylor) : Lagrange reconstruit l'analyse en s'intéressant tout particulièrement aux fonctions développables en série dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797); Équations différentielles et aux dérivées partielles; Intégrales elliptiques; Calcul des variationsCalcul des variations